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Résumé de la discussion

shadock
09-11-2013 19:01:59

Merci bien smile

masab
09-11-2013 16:00:24

J'ai détaillé la première égalité.
[latex]n,p,q[/latex] désignent des entiers [latex]\geq 1[/latex] (variables muettes)

shadock
08-11-2013 18:54:29

D'accord, c'est toujours un peu flou pour moi mais je vais regarder ça tranquillement ce week-end. Mon prof de maths m'a dit que c'était hors programme pour les PC et à la limite du programme pour les MP, alors j'ai une petite question supplémentaire que désigne n dans ta première égalité parce que j'ai du mal à comprendre la première égalité hmm

Merci smile

masab
08-11-2013 07:45:35

Voir mon message précédent où je détaille davantage.

shadock
08-11-2013 00:02:22

Moi je veux bien qu'on me détaille un peu plus :

[latex]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \left(\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^4}\right)\times\left(\sum_{p \wedge q=1}\frac{1}{p^2q^2}\right)[/latex] yikes

En tout cas merci pour la démo smile

masab
07-11-2013 15:53:11

[TeX]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \left(\sum_{p\geq 1}\frac{1}{p^2}\right)\times\left(\sum_{q\geq 1}\frac{1}{q^2}\right) = \sum_{p,q\geq 1}\frac{1}{p^2q^2}[/TeX]
Ensuite on note [latex]k=p \wedge q[/latex] ainsi que [latex]p=kp',\ q=kq'[/latex] où [latex]k\geq 1[/latex] et [latex]p' \wedge q'=1[/latex] 

On remarque que l'application [latex](p,q)\mapsto (k,p',q')[/latex] est bijective.
Par suite
[TeX]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \sum_{k\geq 1}\sum_{p' \wedge q'=1}\frac{1}{(kp')^2(kq')^2} = \sum_{k\geq 1}\sum_{p \wedge q=1}\frac{1}{k^4p^2q^2}[/TeX][TeX]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2 = \left(\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^4}\right)\times\left(\sum_{p \wedge q=1}\frac{1}{p^2q^2}\right)[/TeX][TeX]\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=\frac{\pi^4}{90}\times A[/TeX][TeX]A=\frac{5}{2}[/TeX]
Voilà !

MthS-MlndN
05-11-2013 23:19:16

Je veux bien que tu détailles légèrement la partie "aisée" de la démo...

masab
05-11-2013 18:15:45

Notons [latex]A[/latex] la quantité à calculer.

En étudiant [latex]\left(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)^2\ \,[/latex] on trouve aisément
[TeX]\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=A\times\frac{\pi^4}{90}[/TeX]
d'où
[TeX]A=\frac{5}{2}[/TeX]
Voilà !

shadock
04-11-2013 19:59:39

J'ai trouvé un exercice malheureusement sans la correction il faudra donc que je cherche encore dans les sujets de P2T...

Ce qui est écrit au post précédent est faux, c'est ceci :
[TeX]\sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^* et p \wedge q=1} \frac{1}{p^2q^2}=\frac{5}{2}[/TeX]

shadock
10-06-2013 23:11:48

Je recherche un résultat qui avait été posé sur ce site il y a au moins un deux ans environs par L00ping007 je crois.

Je ne me rappel plus du résultat exact mais il avait la forme suivante :
[TeX]\sum_{pgcd(p,q)=1} \frac{1}{p^2q^2}=\frac{2}{5}[/TeX]
Si une âme charitable... big_smile

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