Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

Écrire une réponse

Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide !
Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci.
Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Options
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Retour

Résumé de la discussion

Jackv
06-05-2022 18:51:57

En me baladant sur le Web, je suis tombé sur le "paradoxe de l'obtusité"  : parmi tous les triangles possibles, quelle est la proportion de triangles acutangles ?
Un certain nombre de sites reprennent cette démonstration : dans un plan infini (*) dont tous les points sont équiprobables (**), on choisit un sommet du triangle et l'on suppose dans un premier temps que les deux autres sommets sont situés dans un cercle de rayon R autour de ce point.
Le deuxième sommet étant choisi, cela délimite deux zones :

https://p0.storage.canalblog.com/04/28/210892/53428182.png

Si le troisième point est situé dans la zone blanche, le triangle est acutangle, dans la rose, il est obtusangle. Il est assez facile de montrer que la zone blanche est  trois fois plus petite que la rose, et ceci, quelque soit la valeur de R, que celle-ci tende vers r ou vers l'infini.
Ainsi, un triangle n'a qu'une chance sur quatre d'avoir ses trois angles aigus ! Étonnant, n'est-il pas ?
La démonstration parait imparable, au point que certains auteurs d'articles sur ce sujet, s'étonnent que d'autres puissent avoir l'audace de proposer une valeur différente...

Et pourtant... Si on choisit au départ deux sommets du triangle et que l'on place le centre du cercle au milieu de ce premier coté, le résultat du calcul n'est plus du tout constant en fonction de R, même si on retrouve le même résultat quand R tend vers l'infini.

Et si on choisissait les trois sommets du triangle dans un plan infini, en conservant l'hypothèse de l'équiprobabilité  ?
Je propose alors de ramener au milieu de ma feuille de papier ou de mon écran, par une habile rotation suivie d'une homothétie, le coté le plus grand de ce triangle pour obtenir la figure ci dessous :

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-TriangleQuelconque.png

- Que devient alors la probabilité pour qu'un triangle, dont les trois sommets ont été choisis au hasard dans un plan infini, soit acutangle ?
- Comment expliquer la différence avec le résultat précédent ?

Je laisse ce topic masqué quelques jours pour que chacun puisse s'exprimer sans connaître les autres réponses.
Puis je vous laisserez vous expliquer entre vous en cas de désaccord wink .

  .
(*) J'aurai tendance à me méfier des calculs manipulant l'infini, autant que de ceux manipulant la valeur zéro...
(**) cette hypothèse pourrait être remise en question...

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete