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C'est en fait sans espoir. Considérer une bande infinie de largeur 1, par sigma additivité elle vaut 0. Pas d'invariance par translation.
On aimerait bien garder l'invariance par translation sinon c'est assez facile (lire mon premier commentaire avec les intégrales).
Je pense qu'on peut le faire en "imitant" la construction de l'angle solide.
Je pense qu'il faudrait considérer comme mesurable seulement les parties d'aires classiques infinies si on veut avoir une chance. Car une partie d'aire finie devrait avoir une mesure relative nulle et par sigma-additivité le plan également.
Après réflexion on peut envisager une mesure du plan avec une projection stéréographique , un demi-plan dont le bord passe à la verticale du pôle est l'image d'un quart de sphère épointée . Plus on s'éloigne du pôle plus les aires deviennent petites ( car image d'un petite portion de sphère ) donc la mesure n'a rien à voir avec celle qu'on utilise habituellement : deux demi-plans n'ont pas forcément la même mesure .
Je me suis mal exprimé
Je parlais de surface, deux carrés sont équipotents mais n'ont pas toujours la même aire.
Déjà , [latex]\mathbb{N}[/latex] est-il la moitié de [latex]\mathbb{Z}[/latex] ? ben non , ils sont en bijection donc équipotents !
C'est un problème ouvert qu'un matheux topologiquement fermé à du mal à résoudre peut-être ?
Pas d'idées? Ben moi non plus... |
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