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Résumé de la discussion

Yanyan
03-06-2011 21:19:37

C'est en fait sans espoir. Considérer une bande infinie de largeur 1, par sigma additivité elle vaut 0. Pas d'invariance par translation.

Yanyan
03-06-2011 19:59:04

On aimerait bien garder l'invariance par translation sinon c'est assez facile (lire mon premier commentaire avec les intégrales).

rivas
03-06-2011 19:07:56

Je pense qu'on peut le faire en "imitant" la construction de l'angle solide.

Il y a sans doute pas mal de problèmes mais ça doit être faisable.
Peut-être peut-on projeter le plan sur une sphère (ou demi-sphère) et considérer l'angle solide de la surface projetée?

Si on projete sur une demi-sphère (avec une projection appropriée) et en divisant par pi, le plan à une aire unité.

Commentaires?

Yanyan
03-06-2011 13:04:40

Je pense qu'il faudrait considérer comme mesurable seulement les parties d'aires classiques infinies si on veut avoir une chance. Car une partie d'aire finie devrait avoir une mesure relative nulle et par sigma-additivité le plan également.

Avec ces parties mesurables on perd le passage au complémentaire.
Donc plus de tribu, juste un ensemble stable par union finie ou dénombrable.
Tout cela semble bien pauvre...
Mais j'aimerai bien donner un sens à la surface délimitée par l'axe des abscisses est la parabole classique x associe x² par exemple.

Vasimolo
03-06-2011 11:57:45

Après réflexion on peut envisager une mesure du plan avec une projection stéréographique , un demi-plan dont le bord passe à la verticale du pôle est l'image d'un quart de sphère épointée . Plus on s'éloigne du pôle plus les aires deviennent petites ( car image d'un petite portion de sphère ) donc la mesure n'a rien à voir avec celle qu'on utilise habituellement : deux demi-plans n'ont pas forcément la même mesure mad .

Vasimolo

Vasimolo
03-06-2011 11:39:04

Je me suis mal exprimé tongue

Selon ton raisonnement appliqué à la dimension 1 , [latex]\mathbb{R}_+[/latex] devrait mesurer la moitié de [latex]\mathbb{R}[/latex] yikes

On considère la bijection [latex]f[/latex] de [latex]\mathbb{R}_+[/latex] dans [latex]\mathbb{R}[/latex] qui envoie [latex][2n;2n+1[[/latex] sur [latex][n;n+1[[/latex] par [latex]f(x)=x-n[/latex] et [latex][2n+1;2n+2[[/latex] sur [latex][-n-1;-n[[/latex] par [latex]f(x)=x-3n-2[/latex] . La mesure de [latex]\mathbb{R}[/latex] est celle de [latex]f(\mathbb{R}_+)[/latex] mais aussi celle de [latex]\mathbb{R}_+[/latex] car [latex]f[/latex] en voie chaque segment [latex][n,n+1[[/latex] sur un segment de même taille , bref la sigma-additivité ne fonctionne plus ou alors deux segments de même longueur n'ont plus la même mesure et on perd l'invariance par translation .

Bref il y a un petit problème smile

Vasimolo

Yanyan
03-06-2011 08:16:37

Je parlais de surface, deux carrés sont équipotents mais n'ont pas toujours la même aire.

Vasimolo
03-06-2011 00:51:49

Déjà , [latex]\mathbb{N}[/latex] est-il la moitié de [latex]\mathbb{Z}[/latex] ? ben non , ils sont en bijection donc équipotents !

On peut comparer tout ce que l'on veut à condition de préciser les critères smile

Vasimolo

shadock
03-06-2011 00:00:03

C'est un problème ouvert qu'un matheux topologiquement fermé à du mal à résoudre peut-être ? lol

Yanyan
02-06-2011 23:11:41

Pas d'idées? Ben moi non plus...lol

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