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Seanbateman
12-11-2012 03:51:00

Juste en parlant de Gödel je vous recommande le livre Les Démons de Gödel : Logique et folie pour comprendre un peu le personnage.

shadock
11-11-2012 19:05:59

Moi j'aime bien le Théorème de Hausdorff :

La sphère unité peut être décomposée en quatre parties isométriques A, B, C, D avec D également isométrique à AuB.(D est donc à la fois le quart et le tiers de la sphère).

Choquant non? yikes

Shadock

Clydevil
21-05-2012 11:25:26

Monstre 7: L'incomplétude de Godel.

Vous savez le truc qui montre qu'il existe des propriétés non démontrables...

Tout d'abord pour être familier avec certains concepts je conseille de lire le monstre sur la théorie des ensembles plus haut. Mais je rappelle tout de même rapidement ici ce qu'il faut savoir:
Lorsqu'on construit une théorie, l'approche moderne consiste à réunir un certain ensemble d'axiomes (ie: propriétés/principes admis par définition) et de règles de déductions élémentaires. Dans une telle théorie, une "démonstration" n'est rien d'autre qu'un arbre dont les feuilles sont piochées dans les axiomes de notre théorie et dont la morphologie correspond à la manière de les relier pour aboutir à la propriété qu'on voulait démontrer.

Je ne vais pas démontrer ici exactement le théorème de Godel, ni coller à la première demo historique (que je trouve pénible) je donne une sorte de vulgarisation aboutissant à la vérité choquante qui nous intéresse.

Lemme préliminaire:

Peut on construire un programme HALT(x,y) qui étant donné un programme x et une donnée y finira par répondre correctement à la question "Le programme x s'arrête sur la donnée y?" ?
La réponse est non, démonstration en mode speed:
Supposons qu'un tel programme HALT(x,y) existe et considérons le programme suivant:

BREAK(x):
Si HALT(x,x) tourner en boucle infiniment
Sinon s'arrêter.


Question est ce que BREAK(BREAK) s'arrête? -> je vous laisse conclure et voir le paradoxe.
Conclusion l'hypothèse de base était fausse, il n'existe pas de tel programme HALT.

Revenons à nos moutons:
Considérons une théorie basée sur un ensemble énumérable d'axiomes. Par "énumérable" on veut dire qu'il y en a soit un nombre fini, soit une infinité dénombrable mais un peu particulière: ie vous pouvez la construire depuis un nombre fini d'informations, ie vous pouvez faire un programme qui fournit un par un les axiomes". En gros "que vous pouvez définir" ce qui est tout de même naturel et plus sympa.
Dans une telle théorie il y a une infinité dénombrable de démonstrations, énumérables également, ie c'est à dire que vous pouvez construire un programme les parcourant une à une en étant sur qu'une démonstration donnée sera un jour atteinte. (Vous pouvez voir les démonstrations comme des arbres et imaginez que vous considérer d'abord les arbres une feuille puis les arbre une branche une feuille etc...)
Donc il serait possible de coder un programme SOLVER(P), associé à un ensemble d'axiomes, qui étant donnée une propriété P parcourrait toutes les démonstrations et s'arrêterait des qu'il trouverait une démonstration de P ou de non P. Certes ceci prendrait du temps mais si on considère que soit P soit non P est démontrable alors un jour le programme s'arrêtera.

Seulement voila, la terminaison d'un programme est une propriété mathématique comme le reste, si ca vous gène vous pouvez imaginer qu'un programme c'est simplement une suite d'entiers définie par récurrence. (La mémoire à un instant donnée n'étant rien d'autre qu'un terme de cette suite d'entier, et la relation de récurrence aussi complexe soit elle n'étant rien d'autre que celle qui correspond à l'exécution d'une instruction dans cette mémoire)
Ainsi on dispose d'une bonne famille de propriété de la forme F_ARITHMETIQUE:
La suite d'entiers machin définie par récurrence comme suit, et de premier terme bidule passera par l'entier 0
On remarquera que les propriétés de cette forme n'ont rien de monstrueux, le sens commun ne peut imaginer que deux choses, soit la suite en question passera un jour par 0 soit elle n'y passera jamais.

Mais la arrive le paradoxe, comme les propriétés du genre F_ARITHMETIQUE contiennent les propriétés du genre "Le programme bidule sur la donnée machin termine" et qu'il est impossible d'après le lemme 1 de construire un programme HALT alors nécessairement notre programme SOLVER sera parfois également démuni pour démontrer ou infirmer des proprietes de la forme F_ARITHMETIQUE.
Autrement dit, vous pouvez construire l'ensemble d'axiome énumérable que vous voulez, il existera toujours des proprietes pour lesquelles vous ne pourrez ni démontrer P ni démontrer non P avec. Et en plus des proprietes non nécessairement exotiques, une propriété de la forme F_ARITHMETIQUE ca semble basique et pourtant en arrivera fatalement une pour laquelle vous ne pourrez pas répondre à la question de son passage par 0 autrement qu'en admettant un axiome supplémentaire.... le plus simple étant d'admettre la propriété en question et vous conviendrez que comme démonstration on a connu mieux...
D'autant plus que vous avez le droit d'admettre son contraire à la place si ca vous chante ca ne donnera aucune incohérence.

Donc ceci c'était à peu de chose près le principe d'incomplétude de Godel:
Dans un certains cadre (que je choisi de ne pas rigoureusement définir), tout à fait naturel, il n'y a pas d'ensemble d'axiomes énumérable satisfaisant permettant de démontrer tout ce qu'on pourrait légitimement s'attendre à démontrer.

Godel a également montré que: Dans une théorie axiomatique il est impossible de démontrer au sein même de cette théorie que l'ensemble des axiomes sur lesquelles elle est fondée n'est pas contradictoire.
Autant quand on choisit un ensemble d'axiomes incohérent on peut aboutir à une absurdité et donc s'en rendre compte autant quand ils sont a priori cohérent vous ne pouvez pas en être sur...
Ça s'applique aux mathématique modernes que vous utilisez chaque jour.

Voila voila, je mettrais à jour les passages flous de ce proof of concept plus tard.

Clydevil
19-01-2012 09:09:35

@Shadock:

Peut-on parler de volume? Parce que 1=1+1 je ne voudrai contrarier personne mais c'est faux.

Ce qui est beau c'est que la notion de volume ne pose pas de probleme. Les "parties" de notre découpage de boules, sont des nuages de points, et assez exotiques. (Aussi exotique que de dire "je considère les irrationnels du segment [0,1]) Par conséquent on découpe notre sphère de volume V avec nos parties bizarres pour lesquelles la notion de volume n'a pas de sens indépendamment sur chacune d'entre-elles (ie: c'est quoi la longueur des irrationnels du segment [0,1]? -> pareil, pas de sens). Et on les re-assemble d'une nouvelle manière pour former les deux sphères de volume 2xV. Sans avoir eu d'incohérence au niveau de cette notion.  Relis bien mes "éléments de démonstration" tu verras c'est moins dingue qu'on imagine, ca vient principalement du fait que R^3 est infiniment divisible.

shadock
18-01-2012 22:34:38

Et quand bien même il en aurait une, un cercle parfait n'existe pas dans la nature sauf si on le prend sur un électron qui est désespérément rond.

Shadock

Vasimolo
18-01-2012 19:53:12

Je connaissais ce sujet et il s'agît plus d'une vue de l'esprit que d'un véritable problème . D'un autre côté c'est en poussant les maths à leurs limites qu'on comprend pourquoi elle ne représenteront jamais vraiment notre quotidien ( ce n'est d'ailleurs pas son objectif ) .

Quelqu'un a déjà vu un point , une droite ou un cercle ( je rappelle que tous ces objets n'ont pas d'épaisseur ) ?

Vasimolo

shadock
18-01-2012 19:39:22

A l'âge de 10 ans je m'étais déjà posé la question de savoir si oui où non il était possible "d'inverser" une sphère. Je pensais que non. Et bien j'ai eu ma réponse. Mais tout cela n'est pas concevable dans un monde comme le notre, on ne peut pas traverser la matière, enfin on peut mais la probabilité qu'un atome le fasse rend impossible que des milliards de milliards puisse le faire.

PS : J'ai pas compris le premier, j'en avais déjà entendu parler, mais je ne vois pas comment c'est possible. Peut-on parler de volume? Parce que 1=1+1 je ne voudrai contrarier personne mais c'est faux.

Shadock smile

Clydevil
18-01-2012 09:14:08

Monstre 6: Prévoir le hasard.

Imaginez une infinité de boites numérotées, avec dans chacune, un nombre entier choisi totalement arbitrairement. Vous avez le droit d'ouvrir les boites de votre choix, y compris une infinité, pour y découvrir l'entier caché, mais vous devez laisser au moins une boite pour laquelle avant son ouverture vous ferez une prédiction sur son contenu. Un protocole qui semble bien loufoque n'est ce pas? comme si on pouvait prédire le hasard... He bien l'un des plus beau paradoxe que j'ai vu est qu'on peut pourtant trouver un protocole pour prédire le contenu de notre boite avec un niveau de certitude arbitrairement grand. (ie: si vous désirez avoir juste pour votre prédiction dans 9 cas sur 10  ou 99 cas sur 100 vous pouvez...)
Évidemment, ceci nécessite des capacités exotiques, comme mémoriser une infinité non dénombrable de certaines choses, mais ca n'en reste pas moins extrêmement étrange de pouvoir prédire le hasard en consultant des variables sans rapport théorique entres elles....
Pour rendre à César ce qui lui appartient je propose une adaptation plus ludique du même paradoxe:
http://www.madore.org/~david/weblog/200 … 05-16.1643
"Le docteur No continue ses méfaits"

Vasimolo
21-12-2011 19:53:41

J'apportais mon petit grain de sel ( ou de sable ) à ton fil , n'y voit pas d'offense . J'adore le thème smile

Vasimolo

Clydevil
21-12-2011 13:48:56

Et certainement une bien plus grande infinité tongue

- Dire que la théorie des ensembles génère des monstres c’est prendre le problème à l’envers : cette théorie a justement été créée pour tordre le cou aux multiples paradoxes qui décrédibilisaient les mathématiques.
...
Les monstres ne sont pas forcément générés par la théorie , ils existent par eux même

C'est à cause du titre du topic? en tout cas ce n'est pas ce que je voulais dire alors, je suis parfaitement d'accord avec toi. Pour moi "monstre" n'était pas du tout péjoratif et ils existent par eux même, oui, c'est juste que dans un cadre nettoyé on a réussi à les trouver la ou avant ils se cachaient. Je parlerais bientot d'incomplétude de Godel smile (ce qui est sans doute ce à quoi tu faisais allusion, ou du même genre, lorsque tu dis que les axiomes ne font pas tout)

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