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shadock
08-11-2012 01:17:57

Ajout d'une fonction rigolotte qui transforme un disque en carré!

Shadock smile

rivas
27-06-2012 13:41:19

Clydevil a écrit:

Ba moi je les aime bien tes fonctions!
Surtout la propriété de sinus que je trouve magnifique.

Je suis en train de chercher une famille de fonctions facilement expressibles tel que
fof n fois soit l’identité, continue et définie partout.

Tu n'as pas dit de R dans R.
Je propose donc: [latex]f(z)=e^{\dfrac{2i\pi}n}.z[/latex].

Toujours pas de latex, je vois. Donc f(z)=exp(2ipi/n).z.

Si tu veux revenir dans R, tu peux sans doute garder l'idée en travaillant sur les parties réelles de compositions de rotations? A voir. Peux-être avec 2 fonctions (une pour la partie réelle et une pour la partie imaginaire)?

Clydevil
27-06-2012 10:49:10

Oui mais la difficulté commence après.
pour f  ->  x convient.
pour fof -> -x convient.
pour fofof  -> je n'ai pas d'exemple.
etc...

Évidemment comme je l'ai dit il s'agit de trouver des fonctions continues, définies partout sur R et pertinentes.
Elles sont considérées comme pertinentes lorsque leur itéré ne donne pas l’identité avant le n-ieme qu'on vise.

Par exemple x -> -x  est pertinente pour fof  mais pas pour fofofof.

gwen27
27-06-2012 09:49:02

Plus sérieusement, toutes les fonctions de type f(x) = k-x semblent se prêter à l'exercice.

fof(x) = k - (k-x) =x

Franky1103
27-06-2012 09:31:55

@Clydevil
J'ai trouvé quelques fonctions tel que fofo...of = Id, mais pas continues et définies sur tout R (et je crois que c'est toute la difficulté).

gwen27
27-06-2012 09:20:48

f(x)=-x ? OK ----> big_smile

shadock
27-06-2012 09:12:10

Je n'avais pas vu le continue.

Au pire tu fais 1/x si x dif de 0 et f(0)=0 tongue
Non j'ai rien dit je sors...

Shadock

Clydevil
26-06-2012 20:01:51

Il manque le "continue" lol dans ton prolongement de 1/x qui n'est pas continue en 0

RQ: La fonction identité marche toujours mais n'est pas pertinente dans la mesure ou on aimerait qu'avant le n-ieme itéré on trouve autre chose que l'identité.

shadock
26-06-2012 19:33:46

Il va me falloir minimum un an de prépa pour en comprendre les démonstrations.

Pour ta famille de fonction, rapidement on peut considérer f(x)=1/u et f(1/u)=1, ou u est une fonction.
Ca marche pour u=x
Et ca marche pour u=n*x

Preuve par récurrence :
Soit p(n)="fof(1/(n*x))=x est vraie"

Initialisation :
Pour u=1*x on a f(x)=1/x et f(u)=x

Généralisation, soit n en entier naturel fixé, on supoose p(n) vraie.

u=1/((n+1)*x)
f(x)=1/((n+1)*x)
Donc fof(x)=1/[(n+1)*1/((n+1)*x)]=x

P(n+1) et P(1) sont vraies, par récurrence, P(n) est vraie pour tout n!

Shadock smile

PS : Bonne chance pour ta recherche, j'ai fait ce qui était facile pour moi ^^
NB : Bien que je ne puisse le montrer, mon résultat marche pour tout n réel !

Clydevil
26-06-2012 11:13:36

Ba moi je les aime bien tes fonctions!
Surtout la propriété de sinus que je trouve magnifique.

Je suis en train de chercher une famille de fonctions facilement expressibles tel que
fof n fois soit l’identité, continue et définie partout.

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