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Yanyan
17-05-2011 06:14:45

Voici une méthode pour obtenir les formules de calcul différentiel mais seulement pour les opérations abstraites (et au moins les fonctions analytiques) sans utiliser les limites donc parfaite pour ceux qui n'y connaissent rien.
On introduit un symbole magique [latex]o[/latex] qui vérifie [latex]o^2=0[/latex] et une fonction [latex]f[/latex] est dite dérivable en [latex]x[/latex] si il existe un réel noté [latex]f'(x)[/latex] tel que pour tout [latex]y[/latex] on a [latex]f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)[/latex].
Exemple:
On veut calculer la dérivé de [latex]f^2[/latex] en un point [latex]x[/latex] où [latex]f[/latex] est dérivable. Par définition [latex]f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)[/latex] d'où [latex]f^2(x+oy)=(f(x)+oyf'(x))^2=f^2(x)+oy2f'(x)f(x)[/latex] donc [latex]f^2[/latex] est dérivable en [latex]x[/latex] et [latex](f^2)'(x)=2f'(x)f(x)[/latex].
Travail:
Montrer que si deux fonctions sont dérivables en un point alors leur somme et leur produit le sont au même point. Que si une fonction est dérivable en un point la multiplication de cette fonction par une constante l'est également en ce point. Et pour finir que si [latex]f[/latex] est dérivable en [latex]g(x)[/latex] et [latex]g[/latex] dérivable en [latex]x[/latex] alors [latex]f(g(x))[/latex] est dérivable en [latex]x[/latex].(Et l'inverse d'une fonction non nulle en [latex]x[/latex] pour les courageux)

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