On doit pouvoir faire en moins de coups mais ça marche

Simple.
Prenons R = Robinet, C=cannette, B=Bouteille, E=Evier.
j'utilise 'X=>Y' pour signifier que je remplis Y avec X, jusqu'a ce que Y soit plein ou qu'il n'y ait plus d'eau dans X.

au depart : C=0, B=0
R=>C : C=20, B=0
C=>B : C=0, B=20
R=>C : C=20, B=20
C=>B : C=7, B=33
B=>E : C=7, B=0
C=>B : C=0, B=7
R=>C : C=20, B=7
C=>B : C=0, B=27
R=>C : C=20, B=27
C=>B : C=14, B=33
B=>E : C=14, B=0
C=>B : C=0, B=14
R=>C : C=20, B=14
C=>B : C=1, B=33
B=>E : C=1, B=0
Voila!

Le 33 cl dans le 1er nb du couple, le 20 cl dans le second:
(0.20)
(20.0)
(20.20)
(33.7)
(0.7)
(7.0)
(7.20)
(27.0)
(27.20)
(33.14)
(0.14)
(14.0)
(14.20)
(33.1)

Comme 33 et 20 sont premiers entre eux, on peut d'ailleurs obtenir n'importe quelle valeur comprise entre 1 et 20.

Il faut simplement résoudre 20a-33b=1 a=5 b=3.
Il faut donc utiliser 1 litre pour arriver au résultat.

Salut !

Alors en général il suffit de faire tourner les contenant et on y arrive tout seul !

J'appelle R33 et R20 mes récipients.

Je rempli R33 que je vide dans R20 que je jette
je verse les 13 restant dans R20, il reste donc 7cl de place dans R20.

Je rempli R33 et j'en verse 7 dans R20 que je jette, il reste 26 dans R33.
J'en verse 20 dans R20 que je jette, il reste 6 dans R33 que je verse dans R20.
Il reste donc de la place pour 14 dans R20.

Je rempli R33 et avec 14cl des 33cl je complète R20 que je vide.
Il reste donc 19 dans R33 que je verse dans R20. Il reste de la place pour 1.

Je rempli R33 et je complète le 1 dans R20 que je vide.
Il me reste donc 32 dans R33, et je rempli 20 que je vide.
Il me reste 12 dans R33 que je verse dans R20.
Il reste alors de la place pour 8 dans R20

Je rempli R33 et je complète les 20 avec 8, puis je les jette. Il me reste donc 25 dans R33. Je me demande quand ça va finir...
Je rempli R20 avec mes 25 et je les jette, il me reste 5 dans R33 que je verse dans 20. J'ai donc de la place pour 15 dans R20.

Je me dépêche de remplir R33 et je complète mes 20 que je jette (quel gâchis). Il me reste 18 dans R33 que je verse dans R20.
Il reste donc de la place pour 2 dans R20.

Je continue jusqu'à obtenir 21 dans R33 que je verserai dans 20 et il me restera 1 dans 33 mais c'est très long !


Deuxième solution : Idem en tournant dans l'autre sens !

Je rempli R20 que je verse dans R33

Je rempli R20 encore que je verse dans R33 que je vide. Il me reste 7 dans R20, je les verse dans R33

Je rempli R20 que je verse dans R33, il y a donc 27 dans R33.

Je rempli R20 que je verse dans R33 que je vide, il reste 14 dans R20 que je verse dans R33.

Je rempli R20 que je verse dans 33, il va alors me rester 1 dans R20 !!!

La deuxième méthode est beaucoup beaucoup plus rapide !!!

On y arrive toujours, lorsque les 2 nombres sont premiers entre eux en effectuant un "cycle" de vidage du grand dans le petit. Ce n'est pas toujours optimisé mais on y arrive.
Un cycle correspond donc à remplir le 33, le vider dans le 20 jusqu'à remplir le 20, vider le 20, vider le reste du 33 dans le 20. Il peut-être nécessaire de vider le 20 à nouveau plein une fois de plus et de vider le reste du 33 dans le 20.

Si on note [latex]x_n[/latex] le contenu du récipient de 20l à la fin du n-ième cycle lorsque le 33 est vide, on voit très bien que [latex]x_{n+1} \equiv x_n + 33 [20][/latex].
Puisque 33 et 20 sont premiers entre eux, 33 est générateur de [latex](\mathbb{Z}_{/20\mathbb{Z}},+)[/latex] et donc on est sûr d'aboutir à 1:
0, 13, 6, 19, 12, 5, 18, 11, 4, 17, 10, 3, 16, 9, 2, 15, 8, 1, 14, 7, 0.

Je pense avoir trouvé la réponse:
on prend 2*20 cl on les versent dans la canette a 33 cl jusqu’à ce qu'elle se remplisse et ce qui reste dans la bouteille est 7cl. On vide alors la canette et on verse le 7cl dans la canette. Ensuite on verse 20 cl puis le contenu d'une autre bouteille jusqu'à ce que la canette se remplisse alors il nours reste 14 cl dans la bouteille. On vide alors la canette et on met les 14 cl. Si on commence a vider le contenu d'une bouteille jusqu'à remplir la canette il nous restera 1cl dans la bouteille. Et c fait!

Evidemment.
Si 'a' et 'b' sont premiers entre eux 'a' est tout aussi générateur de Z/bZ que 'b' est générateur de Z/aZ.
Je ne comprends pas bien ta dernière phrase. Je suppose que tu fais référence à Bezout d'une certaine façon. Et que suivant les coefficients de l'égalité de Bezout, il vaut mieux utiliser l'une ou l'autre façon.
Note qu'il n'y a qu'une seule façon d'écrire Bezout et non pas 2. Le choix porte ensuite sur le coefficient de a et celui de b dans cette équation.

Si au+bv=1, il faut u étapes de versements de a dans b et v étapes de versements de b dans a pour arriver à 1. Il faut donc choisir le plus petit coefficient.

Mais cela, n'est valable que pour la solution 'cyclique'. On peut faire beaucoup mieux de façon non-cyclique généralement. Certaines solutions le proposent d'ailleurs.

Oui mais ton u et ton v sont uniques modulo b et a , c'est ce que précisait Rivas

Vasimolo

Vasimolo a écrit:

Oui mais ton u et ton v sont uniques modulo b et a , c'est ce que précisait Rivas
Vasimolo

Merci Vasimolo. :-)

De plus dans l'égalité de Bezout on fixe habituellement la condition supplémentaire: |u|<b et |v|<a ce qui la rend unique même pas modulo.

En effet, c'est bien à ça que je pensais et j'ai voulu prendre un raccourci pour ne pas m'embêter avec les signes.

Bon tout ça, c'est pour dire que Bezout, ça n'a vraiment de sens (pour moi en tout cas) que lorsqu'on se sert de la forme "canonique" avec u et v minimaux et d'ailleurs, je préfère la forme avec un '-': au-bv=1 ou bv-au=1 ce qui leur permet en plus d'être tout 2 positifs.