Javais commencé a ecrire quelques équations et utilisé Wolfram pour les résoudre, mais j'ai du faire une erreur, puisque Wolfram me donnait une solution complexe.

Sur ce, j'ai  abondonné avec wolfram, et l'ai refait a la main.

Voici ce que j'ai fait:

Je coupe le tetrahedre en 2 parties égales en suivant la mediatrice du triangle principal (la ligne rouge de la vue du dessus. Et on regarde cette coupe en suivant les 2 fleches bleues.

Pour simplifier, au lieu de calculer r (le rayon) en fonction de c (le coté du carré), on suppose r=1, et on calcule c en fionction de r (en ignorant temporairement la valeur reelle de c  qui est de 2012):

En remarque que (a cause de l'angle droit ou la sphere est tangente a l'hypothenuse du grand triangle) l'angle entre e et f est le meme que l'angle en haut du triangle. On pose donc l'équation suivante:
(f + √2/4 c) / (e+1) = 3√2/4   qui peut s'ecrire     (f + √2/4 c) = 3√2/4e + 3√2/4
On remarque aussi que en bas a droite du triangle, la distance du coin du triangle au 2 points de contact est la meme, on pose donc l'équation suivante:
(f + √2/4 c) = 3*(√2/4 c-√2)  qui peut s'ecrire     (f + √2/4 c) = 3√2/4c - 3√2

d'ou :3√2/4e + 3√2/4 = 3√2/4c - 3√2 qui peut s'ecrire  3√2/4(c-e) = 3√2(1+1/4) ou encore : c-e = 4*(1+1/4) ou encore e=c-5

On  a également l'équation:
e/(f+√2) = (3√2)/4
et comme e=c-5, on re-ecrit: 4*(c-5) = 3√2f+3√2√2    ou encore 4c-20 = 3√2f+6 ou encore 4c -3√2f-26 = 0
le 2eme equation ci dessus peut se reecrire:
f-√2/2c+3√2=0 que l'on multiple par -√2  :   c -√2f - 6 =0
on multiple encore par 4:   4c - 4√2f - 24 = 0
on soustrait 4c -3√2f-26 = 0, ce qui nous donne -√2f+2 =0 puis   f = √2.
on remplace f dans cette équation:  e/(f+√2) = (3√2)/4
et ca nous donne : e/(2√2) = 3√2/4 ou encore  e = 3
comme e=c-5, c=8

Ceci, bien sur avec r=1.

Comme en fait c=2012, on en deduit r=2012/8 ou encore D (le diametre) = 2012/4 = 503.

J'ai corrigé la case réponse. J'avais rippé d'une case sur mon clavier.
La réponse n'est pas complexe (la valeur de la réponse en tout cas ).

503, maintenant que je connais la réponse.
Au début, j'avais trouvé 499,33...

Diamètre = 2r = 503 mm = 2012/4

On exprime de deux façons le volume du tétraèdre, dont on connaît l'aire.
L'une est [latex]V = \frac {rS} 3 \,, avec S=2012^2[/latex].
Pas besoin de [latex]\pi, \sqrt 2, \sqrt 3[/latex].

Complément pour rivas

On peut calculer le volume du tétraèdre :
- soit en calculant la hauteur, puis [latex]V = \frac {hS_0} 3 = \frac{hS} 8[/latex]
  ([latex]S_0[/latex] = aire de la base).
- soit par le déterminant de Cayley-Menger ou la formule de Piero della Francesca,
  qui en est dérivée.
NB Ces formules sont au tétraèdre ce qu'est la formule de Héron au triangle.
- ou plus simplement, le tétraèdre étant trirectangle, son volume est [latex]\frac {1* \frac 1 2*\frac12*2012^3}6[/latex]

Le rayon de la boule inscrite est donné par la formule 3V/S où V est le volume du tétraèdre et S l'aire totale des faces du tétraèdre.

Le tétraèdre a 3 faces qui sont des triangles rectangles donc il s'agit d'un tétraèdre trirectangle. La base est le triangle rectangle isocèle de dimensions 1006 ; 1006 et 1006√2 et sa hauteur est 2012.

V = (1006 x 1006 /2) x 2012/3 et S = 2012 x 2012

On en déduit facilement le rayon de la boule (251,5 mm) puis le diamètre.


Ignorant la formule de départ, j'avais d'abord fait les calculs en créant un repère en 3 dimensions basé sur les arêtes perpendiculaires  du tétraèdre et en utilisant la formule de calcul de distance dans un tel repère entre un point et un plan.

Bonne réponse de betelgeuse qui utilise aussi la méthode du volume comme halloduda qui a précisé les formules utilisées (merci pour les références).

dhrm77 a illustré et complété sa bonne réponse par une démonstration différente (peut-être un peu compliquée?). Wolfram est devenu de nos jours ce qu'était la calculatrice scientifique il y a 20 ans: un outil à utiliser avec précaution et modération. Rien ne remplace une bonne feuille de papier et un crayon pour raisonner

Bonne réponse aussi de Franky avec une astuce intéressante (le discrimant nul pour l'intersection lorsqu'il y a tangence).

Pas besoin en effet des différentes valeurs approchées, elles sont souvent données pour ne pas donner d'indice sur le simplicité de la solution.

Allez, j'essaie !

On a un tétraèdre rectangle. Je suppose pour simplifier les calculs que le carré du patron fait 2 de côté (je multiplierai à la fin la longueur par 1006), et je construis un repère orthonormal direct à partir du coin de tétraèdre cubique. Cela me donne comme coordonnées pour chacun de mes points du tétraèdre :
O(0;0;0);
A(1;0;0);
B(0;1;0);
C(0;0;2)

L'équation des 4 plans des faces sont :
(OAB) : z=0
(OAC) : y=0
(OBC) : x=0
(ABC) : 2x+2y+z-2=0

Soit S le centre de la sphère : S(a,b,c) et le rayon R.

le centre S de la sphère doit se trouver à une distance R des plans (OAB), (OAC) et (OBC), donc a=R, b=R et c=R et donc S(R,R,R)

Enfin, la sphère doit se trouver à une distance R du plan incliné (ABC), donc :
|2R+2R+R-2|/racine(2²+2²+1²)=R
|5R-2|/3=R
(5R-2)/3=R ou (2-5R)/3=R
5R-3R=2 ou 2=8R
R=1 impossible car le centre est alors à l'extérieur du tétraèdre
ou R=1/4
et donc le diamètre sera 1/2

Avec un carré de côté 2012mm, je multiplie toutes les distances par 1006, le diamètre de ma sphère sera donc 503mm.

Merci pour l'idée d'utiliser le volume, ça m'a permis d'abandonner mon idée d'utiliser des coordonnées barycentriques, je pense que je ne m'en serais pas sorti.

Je passe sur l'existence et l'unicité d'une sphère tangente aux 4 côtés, il doit exister de telles preuves sur le Net. Intuitivement, on peut s'en convaincre en enlevant la base du tétraèdre, en le retournant (comme un cornet de frites en fait). Si on met une boule à l'intérieur, elle arrive à se caler au fond du cornet. Et en augmentant progressivement le diamètre de la boule, celle-ci va bien finir par être tangente au plan de la face que l'on a enlevée.

J'appelle r le rayon de la sphère, et O son centre. En choisissant 4 points parmi les 5 (les 4 sommets + le point O), on définit un autre tétraèdre. On peut alors définir 4 tétraèdres, disjoints, dont la réunion est le tétraèdre initial. Et les hauteurs de ces 4 nouveaux sont à chaque fois la distance R (distance de O aux faces)

Le volume d'un tétraèdre peut s'exprimer à l'aide d'une de ses hauteurs h et de l'aire A de la face correspondante :
[TeX]V = \frac{Sh}3[/TeX]
Ainsi, le volume V du tétraèdre initial peut s'écrire ainsi, en fonction des aires A, B, C, D de ses 4 faces :
[TeX]V = \frac{Ar}3 + \frac{Br}3 + \frac{Cr}3 + \frac{Dr}3[/TeX]
Mais ô magie, la sommes des 4 aires A, B, C, et D vaut l'aire du carré de départ ! Donc :
[TeX]r = \frac{3V}{a^2}[/TeX]
Il ne reste donc plus qu'à calculer le volume du tétraèdre.
En remarquant qu'une des arêtes (le côté du carré) est orthogonale à l'une des faces (le petit triangle rectangle isocèle), on a :
Le triangle a une aire qui vaut [latex]\frac{a^2}8[/latex], et :
[TeX]V = \frac13\frac{a^2}8a[/TeX]
Après simplification, on trouve :
[TeX]r = \frac a8[/TeX]
Dans notre cas, a=2012, et comme on veut le diamètre[latex]\fbox{d = 503}[/latex]

Qui aurait pu croire que la valeur était aussi simple

halloduda a écrit:

Ces formules sont au tétraèdre ce qu'est la formule de Héron au triangle.

et

betelgeuse a écrit:

Le rayon de la boule inscrite est donné par la formule 3V/S où V est le volume du tétraèdre et S l'aire totale des faces du tétraèdre.

Je ne connaissais pas cette formule toujours utile de connaître: on en apprend tous les jours sur ce site.

Vasimolo a écrit:

La grande pyramide est constituée de quatre petites pyramides dont la base est l'une de ses faces et la hauteur est "r" le rayon du cercle inscrit. Si on ajoute le volume de ces quatre pyramides on obtient 3V=16r.

C'est une méthode courte, simple, efficace: je suis impressionné.

Oui Looping a utilisé la même méthode que moi et sa rédaction est bien plus claire

J'avais modifié la taille du carré pour simplifier les calculs car j'ai pris la mauvaise habitude de calculer "à la main" . En fait après mon PS , le seul calcul effectif résiduel est celui de l'aire du carré initial et la réduction perd beaucoup de son intérêt .

En tout cas un joli petit problème avec une belle solution .

Vasimolo

shadock a écrit:

Moi je trouve que la réponse de L00ping007 est admirable.
Par contre celle de Vasimolo qui est sans doute (sous entendu le sens premier qui "sans aucun doute") la plus courte je n'ai pas compris pourquoi partir d'un carré de 16mm² ? Cela revient au même que celle de L00ping007 non ?

Shadock

Merci Et la solution est effectivement la même, comme d'autres dans la liste, d'ailleurs.
Cela dit, j'ai été mis sur la voie du "volume", et j'ai remarqué que trop tard que le tétraèdre était trirectangle. Sinon je me serais fait un plaisir de faire des calculs dans un repère orthonormé