Hello!

Je ne suis pas fan du brie mais la découpe au laser, c'est la classe pour un fromager!

Voilà la découpe qu'il a fait (me semble-t-il):



Pourquoi cette forme?

Vu de dessus, le problème revient à maximiser la surface découpée par rapport à la longueur de découpe.
Un peu d'intuition nous amène à deux choses:
- la découpe doit avoir la forme d'un arc de cercle,
- la découpe est perpendiculaire au bord du brie.

Cela revient donc à intersecter le brie avec un cercle qui coupe le bord du brie perpendiculairement.

En supposant le Brie de rayon 1, alors:
- le cercle de découpe est de rayon 1,447 ;
- la longueur de découpe est de 1,750 .
   ->  On obtient le quart du brie.

Ceci représente tout de même une économie de 12,5 % par rapport à une découpe classique.
Je ne comprends pas qu'on ne trouve aucune machine à découpe laser chez les fromagers.

Tu m'a pris de vitesse. J'avais deja postulé que les 2 coupes rectilignes sont des approximation d'une courbe, et que la courbe ideale serait probablement un arc de cercle ou peut-etre une hyperbole. Mais je n'ai pas eu le temps de le prouver avant de pouvoir poster une enigme similaire. Le tout est de trouver:
- s'il s'agit effectivement d'un arc de cercle,
- comment trouver le diametre et centre de ce nouveau cercle  (je postule ici qu'au points d'intersection les 2 arcs de cercles forment un angle droit)

Je ferais donc un calcul en supposant qu'il s'agit d'un arc de cercle, mais j'aimerais savoir si tu as pu le prouver (a la fin de l'énigme, bien entendu)

Franky : pourquoi 2 cercles de même rayon ?
racine : pourquoi un cercle sécant de rayon R/2 ??
Le rayon optimum du cercle sécant est fonction de la portion de fromage enlevée.
- Il tend vers l'infini et son angle d'arc tend vers 0 quand la portion tend vers 1/2 du fromage.
- Il tend vers 0 et son angle d'arc tend vers pi quand la portion tend vers 0.

irmo et halloduda : solution tout à fait convaincante .

dhrm : OK. YAPUKA .

PS : Je n'ai pas de démonstration rigoureuse du fait que la découpe suive un arc de cercle. Mais je crois que, jusqu'à preuve du contraire, on peut l'admettre.

@Jackv
Pourquoi deux cercles de même rayon ? Sans savoir le démontrer de façon rigoureuse, je pense que cette situation correspond à un optimum, à l'image d'un cercle (maximisant le rapport surface / périmètre) ou d'une sphère (pour le rapport volume / surface).
J'ai essayé de reprendre mes équations avec deux cercles de rayons différents, mais les calculs deviennent rapidement imbuvables.
Bonne soirée.

racine, Franky, dhrm : non, ce n'est pas la réponse attendue ...

dhrm : cette fois ci, on est parfaitement d'accord !

- La forme optimale de découpe est en arc de cercle.
N'étant pas prof de math, je vais quand même en tenter une simili-démonstration par l'absurde, qui ne convaincra certainement pas les puristes.
Supposons que ce soit un autre type de courbe, par exemple un arc de parabole ou d'ellipse (courbe rouge).
             
Si je j'impose un pourtour fixe du point C jusqu'à un point quelconque P de cette courbe, la nouvelle courbe optimisant le reste de la découpe pour la même surface devra être du même type que la précédente et superposée à celle-ci (arc bleu). La seule solution est que courbure soit constante en tout point de la découpe, ce qui correspond au cas de l'arc de cercle (ou du segment de droite qui peut être considéré comme un arc de cercle dégénéré à courbure nulle).

- La découpe est normale au cercle aux points d'intersection.
Ma démonstration risquant d'être encore plus sujette à caution, je laisse aux spécialistes le soin de prouver la validité de cet axiome .

- Comment varie le rayon de cette découpe ?
Il part de 0 et tend vers l'infini lorsque la proportion de fromage désirée passe de 0 à 1/2, puis retourne à 0 quand la proportion devient égale à 1.
             
Par rapport à la découpe classique , le gain de longueur passe dans le même temps de 100 % à 0 %, pour revenir à 100%.
On peut bien sûr obtenir la proportion souhaitée sur un fromage ainsi entamé, avec pour seul inconvénient le fait que pour une nouvelle proportion faible, la part de fromage devient alors très difficile à manipuler !

- Que vaut le rapport "longueur de découpe / diamètre du fromage" pour une part égale au quart du fromage. ?
             
On choisit comme unité de mesure le rayon r du fromage.
L'aire de l'onglet BAC est égale à l'aire du secteur OCOB moins l'aire du triangle OBC.
Il a comme valeur  [latex]\alpha-\sin(\alpha)*\cos(\alpha)[/latex].

Le secteur O'BO'C a un angle [latex]\beta=\pi/2-\alpha[/latex]   et un rayon   [latex]R = r*\tan(\alpha)[/latex] .
Comme [latex]\cos(\beta)=\sin(\alpha)[/latex]  et  [latex]\sin(\beta)=\cos(\alpha)[/latex] , l'aire de l'onglet BA'C a donc comme valeur :
                 [latex]\tan²(\alpha)*[(\pi-\alpha)-\sin(\alpha)*\cos(\alpha)][/latex].

On souhaite que la somme de ces 2 onglets ait une aire égale à [latex]\pi/4[/latex].

N'étant toujours pas adepte de Wolfram Alpha, je me contente d'utiliser un tableur.
J'obtiens l'égalité des aires pour   [latex]\alpha[/latex] = 55.3595 ° = 0.966206 rd.

Avec ces valeurs, on obtient R= 1.447394 *r
et un rapport "longueur de découpe / diamètre du fromage" de :
                                0.87508042

Cela nous donne un gain de 12,5 % par rapport à la découpe classique, mais seulement 1,25 % par rapport à la découpe au couteau optimisée ...
On peut se demander si il était rentable d'investir dans une machine de découpe laser à commande numérique ... Mais heureusement, une telle machine peut être utilisée à d'autres fins qu'à la découpe optimisée, même par un fromager !

Merci à tous ceux qui ont participé , bravo à ceux qui ont trouvé la solution .
Et à bientôt pour de nouvelles aventures fromagères .