A mon avis, cela revient à

100(a+b)/ab=a

b= 100a/ (a^2 - 100)

Seule solution entière dans 0 - 100 : a=15 donc b=12

Bonsoir,
Soient [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] deux entiers naturels positifs,
L’énoncé nous affirme :
[TeX]a+b=\frac{a}{100}.ab[/TeX]
Ce qui conduit à:
[TeX]b.a^2-100a-100b=0[/TeX]
Puisque [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex]jouent le même rôle ici, fixons [latex]b[/latex] comme constante, cela nous amène à une équation du second degré avec:
[TeX]\mathcal{4}=400(25+b^2)[/TeX]
Donc:
[TeX]x_1=\frac{50-10 \sqrt{25+b^2}}{b}[/TeX]
et
[TeX]x_2=\frac{50+10 \sqrt{25+b^2}}{b}[/TeX]
Il est évident que [latex]x_1[/latex] est négatif, donc :
[TeX]a=\frac{50+10 \sqrt{25+b^2}}{b}[/TeX]
Afin que [latex]a[/latex] soit un entier, [latex]\sqrt{25+b^2}[/latex] doit l'être aussi ! et que le numérateur divise le dénominateur.

Edit : je démontre unicité !
[TeX]\sqrt{25+b^2}^2[/latex] est un carré parfait !
donc : [latex]5^2+b^2=n^2[/TeX]
On a recours un un Triplet pythagoricien !
On sait que les triplets dont tous les termes sont inférieurs à 100 sont les suivant :
(3, 4, 5)             (20, 21, 29)        (11, 60, 61)     (13, 84, 85)
(5, 12, 13)     (12, 35, 37)     (16, 63, 65)     (36, 77, 85)
(8, 15, 17)     (9, 40, 41)     (33, 56, 65)     (39, 80, 89)
(7, 24, 25)     (28, 45, 53)     (48, 55, 73)     (65, 72, 97)

On peut aussi s'intéresser à l'équation du cercle : [latex]5^2+b^2=n^2[/latex] et trouver les coordonnées.
Du coup, le seul triplet possible est (5, 12, 13) puisque [latex]n>5[/latex]
Donc forcément: [latex]b=12[/latex]
Il suffit maintenant de se confirmer que [latex]a[/latex] est un entier aussi.
[TeX]\frac{50+10 \sqrt{25+12^2}}{12}=15[/TeX]
Donc la seule solution possible : [latex]a=15   et   b=12[/latex]

En gros on a : A et B deux nombres choisis par tes soins tel que
[TeX]A+B=\frac{x*A*B}{100}[/latex] où x est un nombre entier.
On peut donc chercher x tel que [latex]x=\frac{100(A+B)}{A*B}[/TeX]
Le numérateur étant de la forme [latex]100*k, k \in \mathbb{N}[/latex] Alors A*B divise l'ensemble en un nombre entier.
Donc [latex]A*B|100 \lor A*B|A+B[/latex]

On cherche donc x tel que :
[latex]A*B \equiv 0[/latex] [100] ou [latex]A*B \equiv 0[/latex] [A+B]

J'ai déjà l'impression qu'avec cette méthode ça ne va pas être de tout repos !

Je reviendrai....
Shadock

Je vois que ce problème, sur lequel je me suis mollement arraché quelques cheveux en courant d'après-midi, inspire pas mal de monde par ici

Pas mal de bonnes réponses, dont certaines (trop rares pour l'instant) démontrent même Spoiler : Gros spoiler l'unicité de la réponse . COntinuez comme ça

Il faut résoudre l'équation x+y = x/100 * xy.
c'est à dire 100x + 100y = x²y
ou encore x²y - 100y = 100x
d'où  y(x²-100) = 100x

On obtient donc la fonction y=100x/(x²-100).

En étudiant cette fonction on trouve que x ne peut pas être entre 0 et 10 auquel cas y serait négatif.
De plus en étudiant les variations de cette fonction on remarque que sur ]10;+inf[, la fonction est décroissante et tend vers 0.

Pour trouver la solution particulière que tu demandes je n'ai eu juste qu'à rentrer la fonction en question et m'apercevoir que pour x=15 on avait y=12.

Si on continue jusqu'à x=30 on voit que y=3,75 et on remarque qu'il n' y a toujours pas eu d'autres entier pour y.

On continue jusqu'à x=101 et on voit que y est plus petit que 1 et qu'il n' y a toujours pas eu d'autres entier pour y.

Il n' y a donc qu'une unique solution à ton problème.

Vérifions:

15+12=27 et 15%de15*12 = 27

Voilà beaucoup ont du trouver j'espère avoir été un des plus clair

En supposant qu'on trouve X pourcents à la fin, l'équation est :
(X+Y)/XY = X/100 <=> 100X+100Y = YX² <=> Y = 100X/(X²-100)
Ne reste plus qu'à étudier la fonction.

Hello,

La solution est unique, tes entiers valent 15 et 12.
En effet, si a est l'entier qui représente le pourcentage, et b l'autre, alors on a la relation (a+b)/(ab)=a/100, ce qui donne ba^2-100a-100b=0. C'est une équation du 2è degré en a, le discriminant est Delta=100^2+(20b)^2. Ce doit etre le carré d'un entier z (sinon a n'est pas rationnel), donc les entiers x=100, y=20b et z forment un triplé pythagoricien. Divisons les tous par 20, on a x1=5, y1=b et z1=z/20, il est forcément primitif (puisque 5 est premier), donc b est pair et 5 s'écrit p^2-q^2, avec p et q entiers. Factorisons, on a (p+q)(p-q)=5, donc (5 est premier, et q positif), p+q=5, p-q=1, donc p=3, q=2, donc b qui vaut 2pq (expression des triplés pythagoriciens primitifs) est égal à 12, et z1 vaut p^2+q^2=13. Ainsi z=260, donc Delta = (260)^2, donc a vaut (100 + 260)/(2*b) (c'est la seule racine positive à l'équation du 2è degré), et miracle a est entier et vaut 15.

Vu ton problème, c'est la seule solution. Remarquons que si tu n'avais pas précisé que c'était la somme qui était un pourcentage du produit, mais simplement que produit et somme correspondaient (en pourcentage l'un de l'autre) à un des deux entiers, il y avait une 2è solution : a=1 et b=99 (en résolvant facilement l'équation ab/(a+b)=a/100 en supposant a non nul) et une infinité d'autres (a=0 et b= n'importe quel entier) si on accepte que a est nul (ce que tu exclus).

En tout cas merci pour cette petite énigme qui m'a bien amusée ! Amicalement,

Une seule solution:
15+12=27 =  15% de (15*12)
Au flair, je dirais qu'on peut probablement prouver que les 2 nombres ne peuvent pas depasser 100.

On peut aussi etendre la recherche au "pour-mille" '‰':
aucune solution

...et au "pour-dix-mille" '‱'
150+120=270 =  150‱ de (150*120)

@MacArony : vérifie ta solution, car 1+99 ne vaut ni 1%, ni 99%, de 1*99...

Ouais, mieux, ouais

Merci pour cette énigme arithmétique (j'adore ça)

J'appelle a et b les 2 nombres et a celui qui vaut le pourcentage.
On a donc:
[TeX]a+b=\dfrac{a}{100}.ab[/latex] soit [latex]b(a^2-100)=100a[/latex] (1).

On sait que a et b sont entiers strictement positifs et que a est inférieur ou égal à 100.
On voit aussi d'après (1) que a est en fait supérieur ou égal à 11.

Si a n'est pas divisible par 5, [latex]a^2-100[/latex] n'est pas divisible par 25, donc c'est b qui est divisible par 25.
Or à part pour a=11 ou a=12, les valeurs de b sont plus petites que 25 et ne peuvent être nulles. a=11 ou a=12 ne sont pas solutions.
Donc a est divisible par 5.
Posons a=5a'.
On sait que a' appartient à l'intervalle entier [3,20].
(1) devient: [latex]b(a'^2-4)=20a'[/TeX]
Il n'y a pas de solutions entière pour b=2 ou 3.
Or à partir de a'=8, b est < 3 donc a' est dans l'intervalle entier [3,7].

Une recherche rapide montre que la seule solution est a'=3, soit a=15 et b=12.

On vérifie:
15+12=27 qui vaut bien 15% de 15x12.

Il y a peut-être un moyen sans essai/erreur, bien que j'ai essayé de limiter leur nombre.

Merci encore.