Fixons un n,
on va montrer que U_n est plus petit que U_0 / 2^[log2 n] <= 2*U_0/n
"[x]" désigne la partie entière de x.

D'après l'énoncé, il existe [(n+1)/2] termes U_k,
tels que 0<= k<n et tels que U_n <= U_k / 2.

Comme on a  [(n+1)/2] entiers k distincts, il ne peuvent tous être dans {0,1,2...,[n/2]-1}, il en existe donc au moins un tel que k0>=[n/2] et U_n <= U_k0 / 2

On continue ce procédé temps que les k trouvé sont différent de 0, on trouve ainsi k0,k1,k2,...ki où U_n <= U_ki / 2^i

Combien de k peut on trouver avant d'arriver à k=0 ? Autant de fois que l'on peut diviser n par 2 c'est à dire au moins [log2 n] fois!

On retrouve donc le résultat U_n <= U_k[log2 n] /2^[log2 n] <= 2*U_0 / n
(U_n) tend bien vers 0.



PS: il n'y a que chez moi que les formules latex s'affiche sous forme de script brut?

A tient, les formules latex s'affichent correctement !

En fait ce n'est pas log2(n) mais sa partie entière. On a: [latex]log2(n)-1 \leqslant [log2(n)]  [/latex] d'où le résultat : [latex]U_n  \leqslant U_0 / 2^{[log2 n]} \leqslant 2*U_0/n [/latex] qui tend vers 0