Première démo (logique ?) :

Choisir n entiers dans [1 ; a+b] revient à choisir i entiers dans [1 ; a] et n-i entiers dans [a+1 ; a+b], avec i compris entre 0 et n.

Deuxième démo (formelle ?) :
[TeX](x+1)^a=\sum_{i=0}^a{a \choose i}x^i[/latex]  et de même [latex](x+1)^b=\sum_{j=0}^b{b \choose j}x^j[/TeX]
En effectuant le produit de ces deux expressions, on obtient :
[TeX](x+1)^{a+b}=\sum_{i,j}{{a \choose i}{b \choose j}}x^{i+j}[/TeX]
D'autre part, on peut également écrire [latex](x+1)^{a+b}=\sum_{k}{a+b \choose k}x^{k}[/latex]

En identifiant les coefficients en [latex]x^n[/latex] de ces polynômes, on obtient :
[TeX]\sum_{i+j=n}{{a \choose i}{b \choose j}}={a+b \choose n}[/TeX]

Bonjour

En fait c'est assez évident si on se souvient que [latex]C_n^p[/latex] est le nombre de parties à [latex]p[/latex] éléments parmi [latex]n[/latex] . [latex]C_{a+b}^n[/latex] est le nombre de parties à [latex]n[/latex] éléments parmi [latex]a+b[/latex] . Or pour prendre n éléments de [latex]A\cup B[/latex] avec [latex]|A|=a[/latex] et [latex]|B|=b[/latex] il faut en prendre [latex]0[/latex] dans [latex]A[/latex] et [latex]n[/latex] dans [latex]B[/latex] ou [latex]1[/latex] dans A et [latex]n-1[/latex] dans [latex]B[/latex] , ... La formule découle directement de là .

Vasimolo

Je pense que l'on obtient cette égalité en identifiant le coefficient de [latex]X^n[/latex] dans l'égalité [latex](1+X)^a(1+X)^b=(1+X)^{a+b}[/latex].

Le coefficient de [latex]X^n[/latex] dans le membre de gauche s'obtient multipliant 2 à 2 les coefficients des monômes dont la somme des puissances fait n, ce qui donne la somme de produits de gauche et dans le terme de droite, le coefficient de [latex]X^n[/latex] est évidemment [latex]C_{a+b}^n[/latex].

rivas a écrit:

Je pense que l'on obtient cette égalité en identifiant le coefficient de [latex]X^n[/latex] dans l'égalité [latex](1+X)^a(1+X)^b=(1+X)^{a+b}[/latex].

Le coefficient de [latex]X^n[/latex] dans le membre de gauche s'obtient multipliant 2 à 2 les coefficients des monômes dont la somme des puissances fait n, ce qui donne la somme de produits de gauche et dans le terme de droite, le coefficient de [latex]X^n[/latex] est évidemment [latex]C_{a+b}^n[/latex].

Une démo parfaite comme j'aime. Simple, évidente quand on la voit.