J'ai passé plus d'une heure dessus, à essayer développer ou prendre le log ou l'exp des premiers termes, mais impossible de trouver. La suite converge, c'est évident après calcul des 5 ou 6 premiers termes sur Excel.

On trouve que lim = 1.757932...

Ce qui rappelle à 2% près racine(pi). Il doit y avoir une astuce à trouver. Soit on la voit, soit on ne la voit pas. C'est hard les oraux ENS.

nodgim : Effectivement la suite semble converger. Bon, normalement, à l'oral, on a pas le droit à la calculatrice. C'est la démonstration de cette convergence qui semble plus compliquée en effet. Remarque, en maths, on se satisfait souvent de la nature de la suite (convergence, divergence) et un peu moins de la valeur que peut prendre l'éventuelle limite (moi, je trouve ça dommage, c'est ça le plus intéressant !).

Nombrilist : j'ai tâtonné à peu près aux mêmes endroits que toi...

Spoiler : Deux idées que j'ai eues (qui n'aboutissent pas...)
J'avais pensé à exprimer [latex]n[/latex] en fonction de [latex]u_n[/latex], de [latex]1[/latex], de [latex]2[/latex], etc. en mettant plein de carrés partout pour tenter d'aboutir ensuite à une formule de récurrence en posant des suites intermédiaires : rien.

Sinon, écrire [latex]\sqrt{n} \le n[/latex], puis [latex]\sqrt{2n-1} \le 2n-1[/latex], etc., mais alors [latex]u_n[/latex] est majoré par quelque chose de non borné...

titoufred : validé pour la démonstration du sens de variation. L'idéal serait de montrer que la suite est majorée. Au vu de la valeur de la limite de la suite, montrer qu'elle est majorée par 2 ou 3 serait un bon point, mais là, je ne sais pas comment faire... En plus, étant donné l'écriture de la suite, les démonstrations par récurrence s'avèrent difficiles, pour ne pas dire infaisables.

titoufred : Bah au temps pour moi dans ce cas. Je vais essayer de chercher le "assez facilement"

Spoiler : Autres idées...
Je lance des idées un peu au hasard au cas où ça ferait "tilt" chez quelqu'un !

Un développement limité peut éventuellement aider. Seulement, il faudrait l'appliquer à quelque chose qui tend vers 0 en factorisant correctement dans les racines (mais je n'arrive pas à montrer que la quantité factorisée tend vers 0).

Je me rappelle aussi que [latex](x_n)[/latex] converge si et seulement si [latex]\sum (x_{n+1} - x_n)[/latex] converge. A partir de là, peut-être faire un développement limité, ou une factorisation adéquate. Mais je ne trouve pas les bons !

Il semble qu'on arrive à un nombre limite qui ressemble de plus en plus à ça :
c'est la liste des constantes en mathématique.

Mais bon, je ne comprends pas trop l'anglais qui va avec.



Et le lien qui va avec :
http://www.matheboard.de/archive/425256/thread.html

En gros, c'est similaire avec la définition du nombre d'or mais je ne comprends pas plus loin que ça.

Il y a ça aussi pour faire le lien entre les deux :
http://www.hermetic.ch/misc/tau/tau.htm

shadock : Je ne suis pas sûr de savoir d'où vient l'encadrement de la suite que tu introduis, ni l'inégalité entre deux limites.. Mais peut-être, je ne sais plus ! (En tout cas, je ne connaissais pas Ramanujan ! Je ne crois pas que ce soit au programme, mais peut-être que les propriétés de ce brave homme peuvent s'avérer utiles en effet !)

gwen27 : Le fait que cette constante soit notée ainsi (sans expression explicite du genre pi^(1/2)) indique qu'il ne faut pas chercher la limite de cette suite du coup. Ouf !

titoufred : L'idée est excellente. Un reproche cependant si je puis me permettre : la majoration que tu opères sur chacun des entiers est vraie, mais je ne crois pas qu'elle puisse permettre d'écrire l'égalité posée. Je t'envoie un MP.
Après ton edit, c'est maintenant parfait !

J'ai quelque chose d'intéressant là :

On va montrer que
[TeX]U_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\text{...}}}[/TeX]
[TeX]V_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{n-1+\sqrt{2n}}}}[/TeX]
Sont adjacentes :

On a, [latex]n<n+\sqrt{n+1}[/latex] ainsi [latex]U_n<U_{n+1}[/latex] car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [latex]\mathbb{R_+}[/latex]

De plus, [latex]n-1+\sqrt{2n}=n-1+\sqrt{n+\sqrt{2(n+1)}} \iff n \ge 3[/latex]
En écrivant [latex]V_{n+1}[/latex] à partir de [latex]V_n[/latex] on s'aperçoit que [latex](V_n)[/latex] est décroissante à partir de [latex]n=3[/latex]

De manière évidente, il est clair que [latex]1 \le U_n \le V_n[/latex] et finalement de manière plus précise on a que,
[TeX]|V_n-U_n| \le \frac{n}{2^n}[/TeX]
Reste à voir ce que l'on peut faire avec

Si, je pense que ce nombre est une limite pour tout k, k étant la puissance à laquelle on élève les termes successifs 1 2 3 4 ....n.

(enfin , c'est ce que je comprends)

Pour k=0 , c'est le nombre d'or, pour k=1 le résultat  s'appelle nested radical constant

1.7579327566180045327088196382181385276531999221468377043
101355003851102326744467575723445540002594529709324718478
269567252864058677411085461154351167459748276498023843694
891204118420378764819958306445703457684673134175415134495
771732737209620221006032275541165980154075522976129445796
99112707719478877860007......

http://en.wikipedia.org/wiki/Tirukkanna … yaraghavan

Qui lui même vient de  :
http://mathworld.wolfram.com/Herschfeld … eorem.html

Tu proposes un classique , je te donne "la" solution classique mais il y en a beaucoup d'autres

Ce qu'on attend de toi à un oral c'est que tu mettes en œuvre tes connaissances avec originalité . Par expérience il me semble qu'il vaut mieux tomber sur un problème parfaitement inconnu car on ne peut pas être tenté de recracher l'archi-connu qui va lasser le jury .

Vasimolo

Vasimolo : ah ! je ne savais pas que c'était un problème classique... Pour l'originalité, je ferai comme je pourrai hein

shadock : okay okay, parfait ^^

C'est vrai que le problème est un peu classique si je puis dire, nombreux sont les exercices sur les suites du type,

Montrer que [latex]\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}[/latex] converge vers une limite l que l'on déterminera. Connaissant cet exercice, on sait déjà que ta suite est convergente. Connaissant les suites de Ramanujan on peut se permettre sans rien démontrer pas mal de choses, et puis en ayant l'idée des suites adjacentes la réponse est quasi triviale.

PS : Il serait peut-être temps en deuxième année de savoir calculer une différence, non? Je taquine

PPS : On pourrait poser une question subsidiaire, ou carrément même l'exercice lui même différemment pour corser (en réalité pas du tout) les choses, du genre,
Etudier la suite définie par [latex]U_n=ln(1+ln(2+\text{...}+ln(n)\text{...})[/latex]
La réponse est triviale connaissant le problème avec les racines, mais je te le laisse si tu veux t'amuser 10 minutes pas plus hein !!!

Shadock

Je n'admets pas de dire que le résultat est évident

Vasimolo : Je me suis mal exprimé, ta réponse est tout à fait valide, enfin pour moi, il n'y a rien à redire. Dans ma tête, j'aurais attendu une réponse qui soit trouvable en 1h, d'où les nuances dans mes précédentes réponses qui t'amènent à dire ça. Et pour moi, penser en 1h à poser de telles suites (et surtuot trouver les bonnes !) est un peu loin de mes capacités ! Sinon, j'avais caché les réponses pour que tout le monde puisse réfléchir. Enfin, si on veut réfléchir, on a juste à pas regarder en-dessous, remarque. Bon, je dé-cache !