chacun annonce comme couleur de son chapeau la couleur du chapeau qu'il voit devant lui.
Pour qu'aucun ne gagne, il aurait fallu que la couleur des chapeaux soit alternée, or, 11 est impair donc l'arbitre ne peut alterner la couleur de tous les chapeaux.

Si l'un des 11 est aveugle, alors là, l'arbitre peut mettre 2 couleurs identiques consécutives sur l'aveugle et celui qui est devant lui : la stratégie précédente des myopes devient inopérante. (rem : je n'ai pas prouvé qu'aucune stratégie ne marche...).

Proposition
Considérons noir=0 et rouge=1 et raisonnons en modulo 2.
Soient a=couleur myope 1, b=couleur myope 2, ..., k=couleur myope 11.
Chacun des myopes disposent d'une seule information (couleur du myope devant lui) qu'il doit exploiter.
Réponse des myopes:
myope 1: k+y1,
myope 2: a+y2,
myope 3: b+y3,
.
.
.
myope 10: i+y10,
myope 11: j+y11.

où y1, y2, ..., y11 sont des entiers.
Par substitution successive, on arrive à cette équation:
a=a+y1+y2+y3+...y10+y11.
ce qui est vrai si et seulement si y1+y2+y3+...y10+y11=0 (en d'autre terme cette somme est paire car nous travaillons en modulo 2).
Je pose donc y1=y2=...=y10=1 et y11=0.
Stratégie gagnante: Les myopes 1 à 10 donnent la couleur opposée à celle du myope devant eux et le myope 11 donne la même couleur que celle du 1.

Pour la deuxième partie, si un des personnages est aveugle alors il faut éviter d'aller à ce jeu avec lui . Je continue à voir comment formuler l'impossibilité de manière mathématique.

Bravo à tous!

Une stratégie gagnante à tous coups pour l’équipe de
myopes est la suivante. Le premier myope (ou l’un des
myopes choisi une fois pour toutes) indique la couleur qu’il
voit devant lui. Les autres indiquent la couleur inverse de
celle qu’ils voient devant eux. De deux choses l’une :
(a) Tous les chapeaux ont la même couleur. Dans ce cas, le
premier myope a deviné la couleur de son chapeau.
(b) Les couleurs ne sont pas toutes identiques. Dans ce cas,
il existe au moins deux myopes qui ont devant eux un chapeau
différent du leur, l’un au moins n’est pas le premier
myope et donc devine la couleur de son chapeau.
Notez que cette stratégie fonctionne avec un nombre pair
ou impair de joueurs.

Pour le second problème, on peut, sans perte de généralité,
supposer que le cercle des onze joueurs est composé : de
l’aveugle, du myope 1 qui voit le chapeau de l’aveugle, du
myope 2 qui voit le chapeau du myope 1, du myope 3 qui
voit le chapeau du myope 2, ..., du myope 10 qui voit le
chapeau du myope 9.
Une stratégie qui ne fait pas intervenir le hasard (on se limite
à ce type de stratégies dans un premier temps) est une règle
qui, en fonction de ce que voit un joueur, décide ce qu’il
doit répondre. Une stratégie s’exprime donc sous la forme
d’une série de consignes de genre :
- L’aveugle propose rouge ;
- Le myope 1 propose rouge s’il voit un chapeau noir et noir
s’il voit un chapeau rouge ;
- Le myope 2 propose noir s’il voit un chapeau noir et noir
s’il voit un chapeau rouge.
- etc.
- Le myope 10 propose rouge s’il voit un chapeau noir et
noir s’il voit un chapeau rouge.
Au total, il y a 21 éléments de consigne (écrits en italique
dans l’exemple) pour définir une stratégie, ce qui signifie
qu’il y a 221 stratégies différentes possibles.
Imaginons qu’une telle stratégie est fixée.
La réponse de l’aveugle est fixée. On ne considérera, pour la
suite du raisonnement, que des distributions de chapeaux
qui comporteront pour lui un chapeau de la mauvaise couleur
(si la stratégie retenue lui commande, par exemple, de dire
rouge, toutes les distributions de la suite du raisonnement
lui attribueront un chapeau noir).
Si la réponse du myope 1 (celui qui voit le chapeau de
l’aveugle) est rouge pour la couleur que nous venons de
fixer pour l’aveugle, nous n’envisagerons pour la suite que
des distributions de couleurs où le chapeau du myope 1 est
noir, et inversement. Il en résulte que, pour toutes les distributions
de chapeaux que nous envisagerons par la suite,
l’aveugle et le myope 1 se tromperont.
Si la réponse du myope 2 est rouge pour la couleur que nous
venons de fixer pour le myope 1, nous n’envisagerons, pour
la suite, que des distributions de couleurs où le chapeau du
myope 2 est noir, et inversement. Il en résulte que, pour
toutes les distributions de chapeaux que nous envisagerons
pour la suite, l’aveugle, le myope 1 et le myope 2 seront dans
l’erreur.
On continue de la même façon construisant ainsi, petit à
petit, une distribution de chapeaux qui met l’aveugle et les
10 myopes en défaut. Cette distribution qui existe donc,
quelle que soit la stratégie convenue à l’avance par les 10
myopes et l’aveugle, montre qu’aucune stratégie ne réussit à
garantir au moins une réponse juste pour chaque distribution
possible. En conséquence, si l’arbitre les a espionnés, il
est certain de pouvoir les faire perdre. Dans le cas où il ne
les a pas espionnés et où il pose les chapeaux au hasard, il a
au moins une chance sur 211 de les faire perdre.
Le raisonnement précédent suppose que les joueurs
ne jouent pas au hasard, autrement dit que la stratégie est
déterministe. Si elle ne l’était pas (c’est-à-dire si elle est probabiliste)
et qu’elle était gagnante dans 100 % des cas, alors,
en retenant, face à une distribution donnée, l’une des
réponses possibles de la stratégie, on en tirerait une stratégie
déterministe gagnante dans 100 % des cas. Comme de
telles stratégies n’existent pas d’après la première partie du
raisonnement, on en déduit que, même utilisant le hasard,
aucune stratégie de jeux (déterministe ou probabiliste) ne
gagne dans 100 % des cas.