Allez une petite récurrence.
[TeX]U_{n} = \prod_{i=1}^{n}(a_{i}+1)-1[/TeX]
Pour n=2 OK
[TeX]((a_{1}+1)*(a_{2}+1))-1=a_{1}*a_{2}+a_{1}+a_{2}[/TeX]
Pour passer de n à n+1
[TeX](a_{n+1}*U_{n}+a_{n+1}+U_{n})=((a_{n+1}+1)*U_{n})-1[/TeX]
Et hop!
Pour 15 successifs
[latex](16! - 1) [/latex] est le le plus grand et le plus petit.

Deux petites curiosités en prime.

Si tous les chiffres sont des 9, c'est invariant.

Si tous les chiffres sont des 1 des 3 ou des 7, on tombe sur des nombres de Mersenne.

Un petit truc marrant à propos de cet exercice

L'opération [latex]aTb=a+b+ab[/latex] est commutative et associative ce qui explique que le résultat final ne dépend pas de l'ordre des opérations et justifie la récurrence [latex]U_{n+1}= (n+1)+U_n+(n+1)U_n[/latex] .

Vasimolo