Soit [latex]a,b,c\in\mathbb{R}[/latex] de somme 1.
Soit [latex]P[/latex] le barycentre de [latex](M,a)[/latex] et [latex](N,b)[/latex] et [latex](O,c)[/latex].
Il est facile de voir que les aires algébriques des triangles [latex]NOP[/latex], [latex]OMP[/latex] et [latex]MNP[/latex] sont proportionnelles aux nombres [latex]a,b,c[/latex].
Donc les 3 aires géométriques sont égales si et seulement si [latex]|a|=|b|=|c|[/latex].
Autrement dit il y a 4 points magiques
[TeX]P_1[/latex] barycentre de [latex](M,1/3)[/latex], [latex](N,1/3)[/latex], [latex](O,1/3)[/TeX]
[TeX]P_2[/latex] barycentre de [latex](M,1)[/latex], [latex](N,1)[/latex], [latex](O,-1)[/TeX]
[TeX]P_3[/latex] barycentre de [latex](M,1)[/latex], [latex](N,-1)[/latex], [latex](O,1)[/TeX]
[TeX]P_4[/latex] barycentre de [latex](M,-1)[/latex], [latex](N,1)[/latex], [latex](O,1)[/TeX]
Voilà !

Pour le 1), je pense que seul le centre de gravité (point d'intersection des médianes) du triangle convient. Mais je n'en suis pas sûr.

2) La 3D, c'est terre inconnue pour moi.

Coucou

Une médiane d'un triangle partage ce dernier en 2 triangles de même aire.
Les 3 médianes étant concourantes. Le point de concours G partage un triangle en 6 triangles de même aire.
En associant par 2 ces 6 triangles, on obtient 3 triangles de même aire.
Donc dans le plan, le centre de gravité est le point magique d'un triangle.

Soit M' le symétrique du point M par rapport au milieu du segment NO.
Le quadrilatère MNM'O est un parallélogramme (ses diagonales se coupent en leur milieu) donc ses diagonales le partagent en quatre triangles de même aire puisque
Les trois triangles  MOM' , NOM' et MPM' sont chacun formés de 2 de ces triangles donc A(MOM') = A(NOM') = A (MPM')

On obtient de le même façon 2 autres points magiques en prenant les symétriques des points N et O par rapport au milieu de leur côté opposé.

Dans l'espace, je n'ai rien vérifié mais intuitivement je dirais que la droite orthogonale au plan (MNO) passant par G nous donne l'ensemble des points magiques.

Question 2  : déterminer l'ensemble des points magiques dans l'espace 3D.

On se place dans [latex]\mathbb{R}^3[/latex] et l'on note  [latex]Oxyz[/latex] le repère orthonormé canonique. Pour simplifier on va traiter le cas particulier où les points [latex]M,N,O[/latex] sont donnés par
[TeX]M=(1,0,0),\ N=(0,1,0),\ O=(0,0,0)\,. [/TeX]
On pose [latex]P=(x,y,z)[/latex].

On rappelle que si l'on a un triangle [latex]ABC[/latex] dans l'espace, son aire s'obtient à partir d'un produit vectoriel par la formule
[TeX]\mathrm{Aire}(ABC)=\frac{\ \Vert\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\Vert\ }{2}[/TeX]
Cette formule permet de montrer que
[TeX] 4\,\mathrm{Aire}(MNP)^2=x^2+y^2+2z^2+2xy-2x-2y+1[/TeX]
[TeX]4\,\mathrm{Aire}(NOP)^2=x^2+z^2[/TeX]
[TeX]4\,\mathrm{Aire}(OMP)^2=y^2+z^2[/TeX]
Par suite l'ensemble des points magiques est donné par les solutions du système
[TeX] y=\pm x [/TeX]
[TeX]y^2+z^2+2xy-2x-2y+1=0[/TeX]
Pour [latex]y=x[/latex], on doit prendre l'intersection du plan [latex]y=x[/latex] avec une quadrique, ce qui donne une conique. De même pour [latex]y=-x[/latex]. On voit aisément que ces 2 coniques sont disjointes ; de plus elles ne sont pas réduites à l'ensemble vide d'après la Question 1.

Finalement l'ensemble des points magiques est la réunion de 2 coniques disjointes. Avec un peu de patience, on peut chercher la nature de chacune de ces coniques.

On peut aussi étendre la méthode à un triangle [latex]MNO[/latex] quelconque. Dans ce cas l'ensemble des points magiques est une courbe obtenue comme intersection de 2 quadriques.

Voilà !

Un petit message pour indiquer que si le triangle [latex]MNO[/latex] est équilatéral, alors l'ensemble des points magiques est composé de 4 droites parallèles, perpendiculaires au plan [latex](MNO)[/latex]. La position des 4 droites résulte de la Question 1.
Il est facile de vérifier géométriquement que ces 4 droites font partie du lieu.