La promenade durera en moyenne 22 minutes.
J'ai utilisé la méthode que j'ai prise pour résoudre "Promenons-nous dans le train".
Voilà !

Proposition:
La probabilité de tirer le n°20 est de 1/20 donc il faut en moyenne 20 lancers du dé pour l'obtenir (20min de promenade). Pendant ces 20 lancers moyens il tire la face 1 en moyenne une fois or chaque tirage de 1 impose un passage dans la voiture 2 sans tirage (1min en moyenne de perdu à cause du passage forcé dans 2). Pour commencer, il était monté par la voiture n°1 qui lui a imposé un passage dans la voiture 2 sans tirage (1min de perdu pour être monté par le 1). Au total, notre bonhomme passera 22min en moyenne pour atteindre la voiture n°20, d'ailleurs comme toute autre voiture hormis la 1 et 2.

Pour un train de n voitures (n>3) TempsMoyen(n)=n+2. Ce temps suppose un dé de n faces.

Bof cette version n'apporte pas grand-chose d'intéressant.

Les wagons 2 à 19 jouent le même rôle, on peut les réunir en un seul wagon noté 2/19.

Si l'on note [latex]t_k[/latex] le temps moyen mis pour rejoindre le wagon 20 à partir du wagon [latex]k[/latex] :
[TeX]t_1 = 1 + t_{2/19}[/TeX]
et [latex]t_{2/19} = 1 + \frac{1}{20}t_1 + \frac{18}{20}t_{2/19}[/latex]

On résout ce système et l'on trouve [latex]t_1=22[/latex]

Voici une autre méthode avec le coup de la ballade de longueur moyenne :

1-2-1-2-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 qui est de longueur 22.

Il y a deux minutes incompressibles. Ensuite vient un lancer de dé. Si le résultat est 1, il faut attendre 2 minutes avant de pouvoir relancer le dé. Si le résultat appartient à [2;19], il faut attendre une minute avant de pouvoir relancer le dé. Si le résultat est 20, c'est terminé. Dans un tirage au dé à n face, le nombre de lancers en moyenne pour obtenir une face donnée est n.

Donc, je dirais qu'il faut attendre en moyenne un temps T = 2 + (1*2+18*1+1*0) = 22 minutes.