Le but est de placer des couples de nombres de 1 à n tels que les 1 soient espacés de 1, les 2 de 2....

9 peut donner, par exemple : 1 1 3 4 9 3 8 4 7 2 6 2 5 9 8 7 6 5

12 : 1 1 4 10 11 12 4 2 3 2 9 3 8 10 7 11 6 12 5 9 8 7 6 

et 15 est tout simplement impossible car il comporte 8 termes impairs qui occuperont des rangs de parités différentes et 7 termes pairs qui occuperont des rangs de même parité. Il y a un terme pair que je ne pourrai pas loger.

On ne peut faire que 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17 ....

Tu as placé les paires de nombres 1 à n à une distance égale à leur valeur. Pour un même n, on pourrait trouver plusieurs solutions de placement. Je ne sais pas quel critère tu as choisi pour l'ordre....

On peut avancer une condition nécessaire sur n pour la possibilité d'une solution.
Soit la suite 1,2,...2n, la somme vaut n(2n+1)
Soit a1,a2...an, la position de chacun des n nombres dans la suite 1,2..n.
Le placement par paire impose
a1+(a1+1)=2a1+1
a2+(a2+2)=2a2+2
ai+(a1+i)=2ai+i
et la somme de toutes ces valeurs vaut:
2*S(ai)+ 1+2+..n=2*S(ai)+n(n+1)/2
à égaler avec la suite 1+2+..2n
2*S(ai)=n(2n+1)-n(n+1)/2.
Possible seulement si le terme droite est pair, vrai si n=4k ou n=4k+1.

Donc solution possible pour n=1,4,5,8,9,12,13,16,17,...
Vrai pour n=1,4,5.
Possible pour n=9 et 12
Impossible pour n=15.

Il faut sans doute passer par l'informatique pour aider à trouver une solution dans le cas d'un n possible.

Je crois que celle-ci fonctionne pour n=9 :

8-2-9-2-3-5-6-3-8-7-5-9-6-4-1-1-7-4

Aucune idée de méthode de construction pour l'instant, ce qui me gêne un peu pour les n plus grands que 10.

Je remarque que chaque suite semble avoir 2n termes en comportant deux fois tous les nombres de 1 à n, mais je ne sais pas la construire

Je vois maintenant la logique de ces suites: pour n, chaque nombre i (compris entre 1 et n) est présent deux fois et ces deux nombres identiques i sont séparés de i-1 autres nombres.
On peut remarquer que si une suite est solution, alors la suite en commençant par la fin l'est aussi. Mais je cherche encore une méthode de construction de ces suites.
Affaire à suivre ...

Edit:
n=9 donne 9-7-8-4-1-1-6-4-7-9-8-5-6-2-3-2-5-3
n=12 donne 12-10-11-7-5-9-2-8-2-5-7-10-12-11-9-8-6-4-1-1-3-4-6-3
Pour n=15, je n'ai pas encore trouvé, mais la solution existe t-elle ?
On peut d'ailleurs se poser la question de l'existence et de l'unicité d'une solution dans le cas général. En effet, si la soution pour n=1 est triviale, il n'y a pas de solution pour n=2 et n=3.

Par tâtonnement, on arrive assez vite à trouver une solution, ce qui laisse penser que celles ci sont nombreuses, et sans doute augmentent avec n...
Pour n=8
1-1-8-2-4-2-7-5-4-6-8-3-5-7-3-6

Pour n=9
1-1-9-2-5-2-7-8-4-5-6-9-4-7-3-8-6-3

Pour n=12
1-1-6-2-3-2-12-3-6-7-11-9-5-10-8-4-7-5-12-4-9-11-8-10.

Je n'ai aucune idée sur la question de savoir si on est capable de dénombrer, pour un n donné, toutes les solutions, à part le test systématique de toutes les combinaisons possibles.

C'est les paires de 1 à n disposées de sorte que la distance entre chaque nombre égal est égal à ce nombre ?

Encore bravo à Gwen et Nodgim qui ont résolu les cas n=9, n=12 et n=15. Vous pouvez à présent admirer leurs solutions.

Nodgim a apporté une preuve qu'on ne peut rien faire pour n=15 (post #6). Je suis plutôt d'accord avec sa démo, à part pour le passage en modulo 4 où j'ai la flemme de vérifier

Ah oui, tiens. Même résultat, démo mille fois plus simple