Enigme Qui a la meilleure méthode de gain ? @ Prise2Tete

ManMath · #1

Qui a la meilleure méthode de gain ?
On lance une pièce ayant un "moins" (-) sur un côté et un "plus" sur l'autre côté (+). On mise 1 euro au départ. Si la pièce tombe sur "+" on gagne un euro en plus, mais si la pièce tombe sur "-" on perd ce qu'on a misé (notre dernière mise) et on doit remiser pour essayer de gagner ce qu'on a perdu. On répète jusqu'à ce qu'on soit en profit ou jusqu'à ce qu'on soit le moins possible en perte.
Avec les suites de pertes et de gains suivants (en "a" et en "b") quelle même méthode utiliseriez-vous afin que votre mise maximale soit la plus basse possible tout en n'étant pas en perte ? Une mise ne doit pas dépasser 16 euros. Utiliser ~ pour indiquer l'équilibre atteint et * pour indiquer qu'on est en profit.

a) +---+--+-+---+----+------+--+ = ?
b) -+--++------------++-+-----++ = ?

Cet exemple ci-après (du modèle "a"), qui double à chaque perte, ne peut pas être utilisé puisque la mise la plus élevée (64 euros) dépasse 16 euros :
+1* -1-2-4+8* -1-2+4* -1+2* -1-2-4+8* -1-2-4-8+16* -1-2-4-8-16-32+64* -1-2+4* = +7
La méthode de cet exemple est donc -1-2-4-8....

Voici 4 autres exemples de méthodes pour mieux comprendre :
1) -1-1-1-2-2-2-4-4-4+8+8+8* = +3 (gain au total)
2) -1-1-1-3-3-3-9+9+9-3-3-3+9+3~ = 0 (le total est nul)
3) -1-2-3-4+5+4+3* +1* +1* -1-2 = donc +2+1+1-3 = +1 (total en profit)
4) -1-2-3-5-8-13+13+13+13* = +7 (total en profit)

En utilisant les valeurs (-/+) des exemples "a" et "b",
Qui peut créer la meilleure méthode en sorte qu'en l'appliquant avec les valeurs (+/-) de "a" et de "b", il réussi à avoir sa mise maximale la plus basse possible tout en obtenant un total qui est le moins en perte possible (ou le plus élevé possible) ?

SabanSuresh · #2

Il faut placer des "1" après les moins et des "16" après les plus ...
Ou alors, je n'ai pas compris l'énoncé ...

ManMath · #3

Explication pour le "a" :
a) +---+--+-+---+----+------+--+ = ?
Cela signifie qu'au 1er lancer, la pièce est tombée du côté "+". Au 2e lancé, du côté "-". Le 3e, du côté "-"; puis " du côté "-"; puis "+"; "-"; "-"; "+"; etc. (ici, je viens de décrire les 8 premiers lancers "+---+--+ ..." au début de "a". Ce sont les valeurs que le hasard à choisi sur les pièces qu'on a lancées.
Or, la 1re mise est toujours de 1 euro; donc vu que la 1re pièce est tombée sur "+" (dans l'exemple de "a") cela signifie qu'on a un gain net de 1 euro (en plus du euro qu'on a misé qui nous reste). Ensuite, parce que j'ai gagné, je remise 1 euro; mais la pièce sort sur le "-"; donc je perds ce 1 euro. Ensuite à ma 3e mise, si je choisis de miser 2 euros dans l'espérance de me faire un profit net d'un 1 euro par rapport à la 2e mise, si je gagne avec un "+" alors je récupère le euro de ma 2e mise que j'avais perdu (2 <la 3e mise> - 1 <la 2e mise> = 1 de profit net au 3e lancer). J'ai maintenant à ce stade 2 euros de profit en tout. Et ainsi de suite jusqu'à la fin de notre exemple "a". Il s'agit de trouver les meilleurs montants (en euro) à miser tout au long de "a"; on fait pareillement pour le 2e exemple ("b").

SabanSuresh · #4

Sauf que là on sait d'avance sur quoi la pièce va tomber donc, je comprend pas le but ... Et aussi comment on peut miser alors qu'on a tout perdu ?

Franky1103 · #5

Je n'ai pas vraiment compris où on voulait en venir.

ManMath a écrit:
On répète jusqu'à ce qu'on soit en profit …

Jusque là, ok: dès qu’on est en positif.

ManMath a écrit:
… ou jusqu'à ce qu'on soit le moins possible en perte.

Et comment sauras-tu quand ta perte sera minimale ?

ManMath · #6

3) -1-2-3-4+5+4+3* +1* +1* -1-2 = donc +2+1+1-3 = +1 (profit de 1 euro).
4) -1-2-3-5-8-13+13+13+13* = +7 (total en profit)
La différence entre les méthodes "3" et "4" :
- Dans la méthode "3", on ajoute 1 euro à notre mise à chaque fois qu'elle est perdante (-). Lorsqu'on a un gain (+) on diminue de 1 euro sa mise suivante. Ainsi de suite jusqu'au bout de cette méthode numéro "3". Puis on regarde son total : "+1". On a donc un profit net de 1 euro.
Voici les valeurs de l'exemple "a" :
+---+--+-+---+----+------+--+ = ?
Si j'applique les valeurs (-/+) de "a" à la méthode numéro "3", nous obtenons ceci :
+1* -1-2-3+4-3-4+5-4+5-4-5-6+7-6-7-8-9+10-9-10-11-12-13-14+15-14-15+16 = +1+-98 = -97 (une perte de 97 euros).

- Dans la méthode "4", on débute la mise à 1 euro, si c'est un gain on remise à 1 euro, sinon si c'est une perte on mise 2 euros au 2e lancer. Si le 2e lancer est encore une perte alors la 3e mise est le total des 2 dernières mises (1+2), donc la 3e mise est au montant de 3 euros. Quand on a un gain, alors la mise suivante reste la même (donc ici 3 euros pour la 4e mise).
Le but est de trouver une méthode dont sa mise qui est la plus élevée soit le plus bas possible et dont le total soit le plus élevé. Dans notre exemple de la méthode "3" appliquée à "a", la mise la plus élevée a été de 16 euros et son total a été une perte de 97 euros. Autrement dit, c'est de trouver une méthode qui a le moins de risque à perdre dans nos mises et qui nous donne le profit net le plus élevé possible (qui va dans notre poche).

ManMath · #7

Je m'excuse Franky1103. Je vois que je me suis mal exprimé quand j'ai écrit :
"On répète jusqu'à ce qu'on soit en profit …".
J'aurais dû écrire ceci :
"On répète jusqu'à ce qu'on arrive à la dernière valeur (- ou +) de l'exemple "a" ou "b" dans l'espérance que notre total soit le plus élevé possible (après le "=") et dans l'espérance que notre mise la plus élevée (dans notre méthode) soit la plus basse possible en comparaison avec celle des méthodes des autres participants."

Rital9zero · #8

Quel est le but? Maximiser l'espérance sous contrainte de ne pas avoir de mise dépassant 16? Ou alors minimiser notre plus grande mise sous contrainte d'être gagnant à la fin de la série?

Parce que ca peut pas être les deux en même temps, tu dis qu'il faut maximiser le gain tout en minimisant la perte. Si je gagne 12 à la fin de la série avec une mise max de 8, et qu'un autre joueur gagne 10 avec une mise max de 6, qui a gagné?

Rital9zero · #9

En supposant que l'on doit maximiser le gain sous contrainte que notre mise la plus grande ne dépasse pas 16 :

Pour la série a) je tente la méthode suivante :
On mise toujours 1, sauf cela 6 fois de suite qu'on perds, on mise alors 16. On arrive à +2

(je suppose que je n'ai toujours pas compris le problème)

Parce qu'on peut inventer n'importe quoi par exemple je mise toujours 1, sauf si mon profit avant de miser et de -2, +12, +27, +40, +52, +62, ou +76. On obtient alors, pour la série a, un gain de +92 :p

ManMath · #10

On fait comme si on jouait contre un jeu de hasard appartenant au gouvernement. Ce gros ordinateur du gouvernement fait les lancers qui tombent soit sur une valeur "-" (négatif) soit un "+" (positif). Or, notre but est de se faire le plus d'argent possible, mais en RISQUANT le moins de perdre le moins possible. Imaginons qu'on joue 1 heure de temps contre ce jeu, ce gros ordinateur; cela pourrait faire environ 240 lancers de pièces à 4 lancers par minutes. Sachant que le maximum qu'on peut miser est 16 euros, alors il n'est pas très prudent de doubler sa mise à chaque fois qu'on fait une perte, car en faisant ainsi, après avoir perdu 15 euros au total des 4 premiers lancers (1+2+4+8=15), on risque de perdre un 16 euros (1-2-4-8-16) au 5e lancer, et tout cela pour essayer de faire un petit gain net de 1 euro (16-15=1). Ainsi en gagnant au 5e lancers avec une mise de 16 euros, on fait un gain net seulement de 1 euro (16-15=1). Or, si on perd ce 5e lancer, alors on ne peut plus doubler (à 32 euros) au 6e lancers pour rattraper nos 5 mises précédentes perdues (1+2+4+8+16=31), car la mise maximale ne doit pas dépasser 16 euros. Or, sachant qu'on joue 1 heure de temps, il faut se trouver une méthode où on risque le moins sur le long terme (au bout de ces 240 lancers) tout en faisant des gains graduels, donc petit à petit. Car, il vaut mieux ne pas miser trop haut et d'accumuler plusieurs petits gains; sinon miser trop haut pour avoir un plus haut gain cela risque de nous ruiner au bout d'une heure, et donc la méthode n'est pas prudente.
Or, le but du jeu est de risquer le moins possible afin d'avoir le maximum de gains sur le LONG TERME (au bout d'une heure de jeu par exemple). Celui a aura gagné est celui dont les participants auraient jugés que sa méthode est la meilleure pour arriver à faire avec prudence le plus de gains possible à long terme. Car, miser 16 euros souvent, n'est pas nécessairement la meilleure méthode même si ce participant a le plus haut gain net au total au bout de 5 minutes de jeu, car il aurait pris ainsi le risque de tout perdre pendant le jeu. Il faut donc juger ensemble de la meilleure méthode qui nous fait risquer le moins en accumulant des gains réguliers à long terme (il est normal de faire des petites pertes pour essayer d'avoir plus de gains au bout de la ligne). Quand on perd, c'est le gouvernement qui empoche; si on gagne, c'est le gouvernement qui nous paye. Or, qui peut trouver la méthode la plus prudente (la plus sûre, avec le moins de risque) qui fait générer des gains acceptables à long terme ?

ManMath · #11

Bonjour Rital9zero. Je tente d'expliquer votre méthode plus bas.
L'étoile (*) indique que notre capital est plus élevé qu'avant ce lancer, tandis qu'un (~) indique que notre capital est redevenu égal. On peut supposer qu'on a un capital de 1000 euros en poche au départ.
Récapitulatif : en utilisant la séquence de "a" (+---+--+-+---+----+------+--+ = ?) et en doublant à chaque perte, on aurait ceci :
Exemple :
a) +1* -1-2-4+8* -1-2+4* -1+2* (etc.) ---+----+------+--+ = 1+ 1 + 1 + ? etc.

- Ici, le premier lancer donne un "+". Notre mise de 1 euro est donc gagnante; on fait un gain de 1 euro net.
- Au 2e lancer, on recommence à miser 1 euro; le "-" sort et on perd donc ce 1 euro.
- Au 3e lancer, on mise 2 euros pour tenter de récupérer notre 2e mise perdue; en gagnant on gagne le double, donc 2 euros; ainsi en comptant notre perte du 2e lancer on s'est fait un profit de 1 euro (2-1=1); ce 1 euro de gain net ajouté au gain du 1er lancer de "a", nous donne un profit net de 2 euros en tout jusqu'à présent dans "a". Mais si on perd ce 3e lancer, alors au 4e lancer on double à 4 euros pour tenter de récupérer nos pertes des 2e et 3e lancer. Ainsi de suite jusqu'à la fin de "a". Puis nous, on analyse votre séquence de "a" avec son total.

Maintenant, si je comprends bien votre méthode, c'est qu'après 6 mises (de 1 euro chacune) perdues consécutivement, on mise 16 euros à la mise suivante. Cela se traduirait ainsi avec la série "a" :
a) +---+--+-+---+----+------+--+ = ?

+1* -1-1-1+1-1-1+1-1+1-1-1-1+1-1-1-1-1+1-1-1-1-1-1-1+16* -1-1+1 = 2

On a ainsi un gain de 1 euro au 1er lancer; un profit de 2 euros lors de la mise à 16 euros; puis une perte de 1 euro lors de la dernière mise. Donc, "+1+2-1=2"; donc un profit net de 2 euros si j'ai bien compté. Mais si j'applique cette même méthode à la série "b", voici :
b) -+--++------------++-+-----++ = ?

-1+1~ -1-1+1+1~ -1-1-1-1-1-1-16-1-1-1-1-1+1+1-1+1-1-1-1-1-1+1+1 = -28

Au 2e lancer le montant est nul (notre capital est redevenu comme au début); au 6e lancer le montant est nul; lors de la mise de 16 euros on a une perte nette de 22 euros; et à la dernière mise on a une perte de 6 euros. Ainsi, "0+0-22-6=-28".
Ainsi le total de "a"+"b" (+2-28=-26) nous donne une perte de 26 euros. J'en déduis donc que la méthode n'est pas prudente à long terme en sachant qu'on pourrait rencontrer n'importe quelle série durant notre période de 60 minutes de jeu. Vous pouvez tenter une autre méthode à moins que je n'ai pas bien compris cette méthode-ci. Qui peut faire mieux ?

Rital9zero · #12

Je pensais que l'on devait "se coller" à la série a) en cherchant la meilleure stratégie pour que, a posteriori, elle soit la meilleure pour la série a).

Alors si la question est dans le cas général, je suis dsl mais je ne comprend pas l'intérêt des séries a) et b). D'autant plus qu'elle n'ont pas l'air d'être représentative d'une série de pile ou face équilibrée.

Si le lancer de pièce est équilibré, je ne vois pas quelle technique pourrait nous permettre de gagner de l'argent sans utiliser de systeme type martingale, et donc sans prendre le risque d'atteindre une mise jugée trop élevée.

On pourrait juste, si l'on compte jouer 100 lancer par exemple, trouver une méthode qui "transfère le risque" dans le sens où elle modifie la répartition des gains à la fin (comparée à une mise de 1 à chaque fois) : je m'explique par un exemple simple :

Si l'on joue 2 lancers (proba de gagner chaque lancer = 1/2) en misant 1 à chaque fois, on a la répartition des gains suivante:

* 2 victoires : gains de 2, proba 1/4
* 1 victoire 1 défaite : profit nul, proba 1/4+1/4=1/2
* 2 défaites : perte de 2, proba 1/4

Par contre, si l'on double la mise au 2nd lancer en cas de perte au premier:

* 2 victoires : gains de 2, proba 1/4
* 1 victoire puis 1 défaite : profit nul, proba 1/4
* 1 défaite puis 1 victoire: profit -1+2=+1, proba 1/4
* 2 défaites : profit -1-2=-3, proba 1/4

On remarque donc que l'on a modifier la répartition des gains "grâce" à la méthode. Mais j'insiste sur un point : l'espérance est le même, elle est nulle car la pièce est équilibrée.

Au final ce que je veux dire c'est que le mieux que l'on puisse faire c'est se fixer un taux de risque %alpha entre 0 et 1 (par exemple 5%), et trouver une méthode permettant de n'être perdant que dans %alpha des cas.

Je suppose donc que ta question ressemble à trouver une méthode permettant une probabilité de perdre la plus faible possible tout en ne misant pas trop cher

ManMath · #13

Merci Rital9zero pour votre commentaire intéressant.
- Bien qu'il semble que la série de "a" ou "b" ne soit pas représentative, dans les faits elle l'est. Bien qu'on ait 1 chance sur 2 de tomber sur "+" ou sur "-", cette chance sur 2 se répète indépendamment à chaque lancer; ce qui signifie que rien n'empêche que pendant 20 coups le "+" sorte, puisque ces chances sont toujours indépendantes l'une de l'autre. Ainsi, l'équilibre entre les "+" et les "-" peut se faire au bout de 2 lancers comme au bout de 100 lancers. Par exemple, tomber sur "+" 10 fois de suite a une probabilité de 1 chance sur 1024 que cela arrive (2-4-8-16-32-64-128-256-512-1024); ce qui signifierait qu'en moyenne, au bout de 1024 lancers on peut tomber sur une suite de 10 "+" consécutifs, mais dans les faits cela peut se produire aussi bien après 3 lancers que après 5000 lancers, mais théoriquement la loi de l'équilibre ajusterait cela pour que 10 "+" consécutifs se produisent en moyenne à tous les 1024 lancers.
- Je suis d'accord avec vous pour dire qu'il faudrait utiliser une méthode de type martingale; il s'agit donc de trouver quelle variante de martingale serait la mieux adaptée pour diminuer les risques de façon satisfaisante tout en se faisant des gains. Effectivement, vous avez bien saisi la question.
- Je trouve votre idée intéressante concernant le fait de se fixer un % de risque entre 0 et 5%. Il resterait à trouver une méthode qui pourrait faire cela et la comparer avec les séries "a" ou "b" pour voir le résultat que cela donnerait.

- J'ajoute ceci. Vous avez écrit ceci : "...l'espérance est le même, elle est nulle car la pièce est équilibrée.". Mais concernant le jeu dans ce fil, l'ordinateur du gouvernement a un avantage considérable sur nous, car : "Une mise ne doit pas dépasser 16 euros." Ce qui signifie que si, avec une martingale simple (comme dans notre exemple <2-4-8-16>), nous rencontrons au moins 5 pertes consécutives nous commençons à être perdant. D'où la nécessité que cette martingale soit modifiée (exemples : "-1-1-1-1-2-2-2-2-4-4-4-4-8-8-8-8 etc." ou "-1-1-1-2-2-2-3-3-3-6-6-6-12-12-12 etc.").

Avec cette méthode de la martingale modifiée : "-1-1-1-2-2-2-3-3-3-6-6-6 etc."
nous aurions avec la série "a",
a) +---+--+-+---+----+------+--+ = ?
ceci :
+1* -1-1-1+2-2-2+3-3+3-6-6-6+12-12-12 -1-1+1-2-2-2-3-3-3+6-6-6+12 = +1-55-10 = -64 (méthode trop risquée)

Mais avec cette autre méthode : "-1-1-2-2-4-4-8-8 etc.", nous aurions ceci avec la série "a" :
+1* -1-1-2+2-4-4+8-8+16-16 -1-1+2 -1-1-2-2+4-4-8-8-16-16 -1+1 -1-1+2 = +1-10+0-54+0+0 = -63 (mieux, mais méthode trop risquée)

Par contre, si on diminue (réajuste) la mise à chaque gain "-1-1-2-2+4 -2-2-4-4-8-8..." :
a) +---+--+-+---+----+------+--+ = ?
+1* -1-1-2+2 -2-2+4 -2+2 -2-2-4+4 -4-4-8-8+16 -8-8-16-16 -1-1+2 -1-1+2 = +1-62+0+0 = -61 (encore mieux, mais méthode trop risquée)

Si quelqu'un peut faire mieux...

paniqueabord · #14

et dire que je me mets en concurrence avec des gens de ton niveau : folie folie paniqueabord

paniqueabord · #15

pourquoi tu fais pas les énigmes tu trouverais e moins de 2
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#1 - 18-12-2013 15:21:37

Qui a la meilleure méthode de gian ?

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#2 - 18-12-2013 16:05:11

Qui a la mielleure méthode de gain ?

#3 - 18-12-2013 17:43:14

qui a la meilleure méthode fe gain ?

#4 - 18-12-2013 18:18:58

qui a la meikleure méthode de gain ?

#5 - 18-12-2013 19:45:46

Qui a la meilleure méhtode de gain ?

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#6 - 19-12-2013 00:21:57

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#7 - 19-12-2013 00:54:19

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#8 - 19-12-2013 20:08:07

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#9 - 20-12-2013 02:58:22

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#10 - 20-12-2013 03:23:49

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#11 - 20-12-2013 10:13:55

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#12 - 20-12-2013 16:56:46

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#13 - 21-12-2013 01:25:13

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#14 - 21-12-2013 01:55:42

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#15 - 21-12-2013 01:58:02

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