Quelquechose comme ça ?

Joli coup Franky .

Vasimolo

J'ai identifié toute une famille de pentagones qui peuvent être la moitié identique à l'autre moitié d'un pentagone :

Ils sont constitués de 2 cotés égaux 2 à deux, d'un angle droit et d'un angle a compris entre pi/2 et pi.

Il y a peut-être d'autres puzzles possibles, mais je n'en ai pas trouvé.

@Cogito & Dylasse : parfait .
@Gwen : c'est comme ça que tu coupes les gâteaux

On peut essayer de caractériser tous les gâteaux possibles , ce n'est pas trop difficile .

Vasimolo

@Gwen et Dylasse : vous les avez tous , la justification n'est pas si laborieuse qu'elle en a l'air

Vasimolo

@Jack : les parts doivent être pentagonales .

Vasimolo

Non Annyo , couper le gâteau dans le sens de l'épaisseur ce n'est évidemment pas l'esprit du problème .

Vasimolo

Yes ! j'en ai réussi un !


Je suis pas certain d'avoir trouvé toutes les solutions possibles, mais si on part de 3 points quelconques A,B,C et qu'on effectue 2 rotations de centre A et d'angle 90° on obtient les points A'=A, B', C' puis A"=A,B",C", et les point B, A, B" sont alors alignés.
On a donc notre gâteau pentagonal BCC'C"B", et les 2 parts pentagonales identiques sont ABCC'B' et AB'C'C"B". (l'une est l'image de l'autre par rotation de centre A et d'angle 90°)

@Annyo : Bravo , tu as toutes les solutions mais pourquoi ?
@Looozer : C'est une des solutions .

Je laisserai un peu de temps après le levé du cache pour ceux qui veulent chercher une petite démo ( y'en a une très simple ) .

Mais peut-être quelqu'un aura trouvé avant : à vos crayons

Vasimolo

Ma division du pentagone en 2 quadrilatères (post 11) m'avait semblé un peu trop facile !

Pour arriver à découper en 2 pentagones, il a fallu que je me convainque d'abord que c'était possible .
Il a été ensuite beaucoup plus rapide d'en déduire que la découpe comporte 2 segments (sacré piège !) puis de trouver une configuration possible.
En voici une. Il en existe peut-être d'autres ...

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Voici ma proposition de démonstration

1) Intéressons nous d'abord à la coupe : elle sépare deux parts identiques qui s'imbriques l'une dans l'autre, la coupe présente donc une partie du contour des parts qui apparaîtra 2 fois. (à l'orientation près)(l'intérieur du gâteau ne sera pas du même coté pour les 2)



2) Cette coupe ne peut être constituer que de 2 segments au plus, sinon les parts auraient plus de 6 cotés d'après 1)
De plus, en collant 2 pentagones par un seul coté, on obtient au minimum un hexagone : on a donc une coupe en 2 segments

3) Il y a donc un groupe de 2 segments qui apparait 2 fois dans le contour et comme un pentagone n'a que 5 cotés, ces deux groupes sont adjacents et il reste à relier le reste.



4) On y est presque, mais avec la part précédente, le gateau complet est un hexagone, il faut donc que l'angle a soit droit, afin d'obtenir un angle 2a plat sur le gâteau final qui est alors un pentagone !