Enigme Le Polynôme @ Prise2Tete

Promath- · #1

Bonjour à tous!
Je vous propose cette énigme toute simple, qui devrait ne pas résister longtemps

On note [latex]P(x)[/latex] un polynôme tel que la constante [latex]z[/latex] de [latex]ax^n+...+zx^0[/latex] soit égale à -1782. La constante [latex]a[/latex] est égale à 1. Le Polynôme ne présente que des racines simples de la forme [latex]2^n+1[/latex], sauf une, où [latex]n[/latex] est un entier naturel.

Combien vaut la somme des racines du polynôme, qui est un multiple de 4?

scrablor · #2

Je trouve apparemment plusieurs solutions :
(x-6)(x-9)(x-33) avec S=48
(x-2)(x-3)(x-3)(x-3)(x-33) avec S=44

golgot59 · #3

Salut !

le n correspondant au degré du polynôme et le n en exposant de 2^n+1 est-il le même ?

Promath- · #4

Effectivement, et la mienne est encore différente... Pour une même somme, mais j'ai oublié de préciser que le polynôme ne possédait aucune double racine... Édit: en plus tous les nombres sont de la forme 2^n+1... Ce qui est incorrect
Non, les deux n mentionnés sont différents

scrablor · #5

Ma seconde proposition n'est pas valable puisque [latex]2 = 2^0+1[/latex] Désolé.

Promath- · #6

Oui c'est exact, mais la première reste juste

unecoudée · #7

salut.

le polynome recherché a pour produit de ses racines [latex]-\frac{z}{a}= 1782[/latex] qui se décompose en 3 racines : 2 de la forme [latex]2^n+1[/latex] qui sont +33 & +9 et +6

le polynome étant du troisième degré , [latex]z = (-1)^3 \times{33}\times{9}\times{6} = -1782[/latex] . La somme de ses racines vaut 48
[TeX]P(x) = x^3 - 48x^2 + 549x - 1782 [/TeX]
à plus.

eudoxie · #8

La somme des 3 racines est 40 .
CAR : Les racines sont des diviseurs de 1782 et sont en nombre impair ( puisque le coefficient est négatif)
Or 1782 = 2 x 3 x3x3x3x 11 .
Il faut de plus que les racines à part une soient de la forme voulue, les solutions possibles sont 3 ( 2+1 ) ou 9 ( 8+1) ou encore 33 ( 32 + 1) .

La dernière condition ( somme divisible par 4) élimine toutes les solutions possibles sauf la solution 9 , 9 et 22 .

SabanSuresh · #9

Sauf que 22 n'est pas de la forme 2^n + 1 (si j'ai bien compris).

eudoxie · #10

j'ai bien lu , de la forme 2 ^n + 1 sauf une , non ?

unecoudée · #11

salut.
[TeX]2=2^0+1[/latex] et [latex]9=2^3+1[/latex] sont aussi 2 racines de la forme [latex]2^n+1[/latex] , [latex]99[/latex] ne l'est pas.

donc [latex]P(x) = (x-2).(x-9).(x-99) = x^3 - 110x^2 + 1107x - 1782 = 0 [/TeX]
a pour somme de ses racines [latex]-\frac{b}{a}=110[/latex]

c'est une seconde solution avec 48

Franky1103 · #12

eudoxie a écrit:
j'ai bien lu , de la forme 2 ^n + 1 sauf une , non ?

C'est juste, sauf que ta solution ne respecte pas un édit de Promath-: "le polynôme ne possède aucune double racine", qu'il n'a pas remis dans le texte de l'énigme.

Promath- · #13

Bravo à tous quand même, effectivement je croyais avoir édité le message mais apparement pas...

kossi_tg · #14

Bonsoir à tous,
Après plus moi d'absence, j'ai eu envie de proposer une autre solution à ce problème:

P(x)=(x-33)*(x-9)*(x-3)*(x-2)*(x-1),

Les conditions de validités:
S=33+9+3+2+1=48
P=33*9*3*2*1=1782
Toutes les racines sous la forme de 2^n+1 sauf 1

Promath- · #15

C;était ma solution initiale quand j'ai construit le problème
Comme quoi c'est plus facile de fabriquer une énigme que de la résoudre

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#1 - 06-09-2014 22:26:50

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#13 - 12-09-2014 18:27:27

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#14 - 26-09-2014 20:03:13

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#15 - 28-09-2014 21:20:50

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