Saban je plaisante

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golgot59 a écrit:

N°7, pourquoi le morceau bleu ne peut pas être coupé en 2 ?

D'un coup de ciseau, je suis d'accord, mais avec une découpe plus complexe...

En la découpant comme ci-dessous, les deux triangles verts on la même aire (triangle rectangle coupé en deux par le milieu de l'hypoténuse), et les deux triangles bleus aussi (triangle isocèle coupé en deux par le milieu de la base). Du coup, le quadrilatère formé des 2 triangles clairs a la même aire que le quadrilatère formé des 2 triangles foncés.

Je sais bien que ces 2 quadrilatères sont différents, mais qu'est-ce qui dit qu'en modifiant les découpes, on ne peut pas y arriver...

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-cvbv.jpg

Je pense que c'est impossible: Voilà ma preuve
On note le quadrilatère ABCD résultant de la découpe, le segment AD étant le segment de coupe. On remarque que deux angles sont égaux.
Par l'absurde: Trivialement, on sait que les angles DAB et ABC sont sur la même découpe sinon cela induirait des problèmes de formes car A et D seraient nécessairement sur la même découpe mais comme c'est la longueur maximale intra figure, on ne peut la déplacer autre part. Cela montre que les points A et D sont sur deux coupes, et que les angles DAB et ABC dont sur la même coupe. On a donc une découpe ayant pour longueur de côté P où P est la longueur du côté du pentagone. Se posent deux cas; soit P est sur le segment coupant le pentagone mais c'est impossible car on a une incohérence de mesures d'angles, soitil est sur le côté BC mais alors se pose aussi un problème d'angle car l'angle obtenu sur la découpe près du haut droit du pentagone est nécessairement inférieure à 108° d'où une incohérence, car il n'existe pas de rotation suivie de translation qui envoie une découpe sur une autre. Ayant prouvé qu'une telle similitude est impossible, il n'existe aucun découpage en 2 e demi-pentagone, la solution est donc à chercher ailleurs.


Edit: de plus si les angles ABC et BCD  ne sont pas équivalents, cela induit l'existence d'un autre angle de même mesure sur la découpe en bas à droite, mais cela induit une incohérence avec la déoucpe en haut du pentagone.

Merci Vasimolo, ce serait un honneur!

Malheureusement, je ne connais que la recette de la mousse au chocolat.
Ca risque de faire des modèles complexes...



Aller, je sors!

Tu dis ça pour te faire mousser

Je ferai sûrement appel à toi quand j'aurai vraiment marre de mes illustrations ultra-ringardes que mon pâtissier lui-même ne supporte plus .

Vasimolo

PS : je répondais à Lui-même bien sûr

Mince, j'avais totalement oublié celle-ci ! Ça contre totalement mon idée ! Mais peut-être cela a un rapport avec le fait que cette figure ne soit pas une polygone régulier

SabanSuresh a écrit:

Les hexagones aussi peuvent être pavés par des hexagones plus petits, non ,

Non, tu peux regarder par exemple l'image dans la série "optimisation" de golgot59.


Par contre on peut paver un hexagone avec des triangles équilatéraux. Si on prend des triangles équilatéraux dont les cotés font 1/5 du coté de l'hexagone on obtient un pavage avec 150 triangles équilatéraux qui est un multiple de 5.
J'ai essayé de chercher 5 formes identiques qui recouvraient chacunes 30 triangles équilatéraux, mais pour l'instant je n'ai rien trouvé.

Un autre point commun qu'ont le triangle équilatéral et le carré, c'est que ce sont les deux seuls polygones réguliers dont les angles sont <= 90°. Mais bon, pour l'instant je n'ai aucune piste sérieuse.

Mais j'y pense ! Le triangle et le carré sont les deux seules polygones réguliers qui peuvent se compléter par eux-mêmes. De plus, on peut compléter sur un angle de 180° (3 x 60 et 2 x 90), je ne sais pas si cela à un rapport mais cela veut peut-être dire qu'on ne peut compléter aucun autre polygone par des polygones réguliers ?

Ah oui (rhume de cerveau probablement)...

Mais je voulais dire que les coupures des fissures ne pouvaient être situés sur les cotés et doivent être forcément dans les sommets. Donc un polygone régulier ne peut être compléter par d'autres polygones réguliers si les cotés partent du coté et non des sommets. Donc s'ils existent, ils doivent recouvrir les cotés entiers.

Les angles des polygones réguliers :
Triangle : 60°
Carré : 90°
Pentagone : 108°
Hexagone : 120°
Heptagone : 5π/7
Octogone : 135°
puis c'est 140, 144, 150...

On voit que seul l'hexagone est un multiple d'un autre polygone (ce n'était pas français, mais c'est des maths alors...). Alors il est impossible qu'un autre polygone (àpart l'hexagone, le carré et le triangle) soit découpé en d'autre polygones réguliers.