Enigme Rapport de Sommes @ Prise2Tete

Vasimolo · #1

La mode est aux calculs sur les entiers , je vais donc laisser mon dernier gâteau au four et vous proposer le défi suivant :

Le rapport de sommes d'un entier ( strictement positif ) est le rapport de la somme des chiffres de son carré ( en écriture décimale ) par la somme de ses propres chiffres ( toujours en écriture décimale ) .

Exemple RS(27)=S(27²)/S(27)=S(729)/S(27)=18/9=2 .

Quelle limite inférieure ou supérieure pouvez-vous donner à ce rapport ?

Amusez-vous bien

Vasimolo

Promath- · #2

En limite supérieure, je propose 10

En effet, les entiers de la forme (10^k-1)/9 ont cette caractéristique particulière qui leur permet d'atteindre une somme de k, quand leur carré peuvent atteindre 10k dans le meilleur des cas

La limite inférieure... Parlons en

Un carré d'un nombre à n chiffres admet au minimum 2n-1 chiffres. Cela donne un rapport de 2/9 minimum quand n tend vers l'infini. C'est ma conjecture.

Pour n=1 on observe des rapports supérieurs à 1 systématiquement... Ce n'est pas toujours le cas! 18 nous donne pour la première fois un rapport inférieur ou égal à 1! 19 nous donne la même chose. 39² nous renvoie un rapport inférieur à 1 (3/4)

Sydre · #3

Pour l'instant je conjecture que le rapport est compris entre 3/10 et 9

Je cherche encore !

enigmatus · #4

Bonjour,
Voici ce que j'obtiens expérimentalement pour les nombres de 1 à 100 000 000

Code:

Valeur min du rapport
 13/65 = 0.2 pour n = 48989999

Valeur max du rapport
103/11 = 9.3636 pour n = 22111013, 31011122, 31101122, 31111022

Vasimolo · #5

Je ne suis pas contre les conjectures

J'aime aussi les résultats concrets comme ceux d'Enigmatus : on donne les nombres qui réalisent les rapports extrêmes obtenus .

On peut aussi montrer que le rapport est sans limite dans ]0,inf[ d'un côté ou de l'autre .

Vasimolo

fix33 · #6

Tout nombre en base 10 peut s'écrire comme la somme de j=0 à n de 10^j*Aj.
Aj étant un entier compris entre 0 et 9.
Le carré d'un tel nombre est supérieur... Mais qu'est-ce que je raconte ?! Mon calcul est ultra faux...

En définitive, j'ai juste remarqué que pour 1 ça donne 1, pour 11, ça donne 2, pour 111 ça donne 3... Bref, j'aurais tendance à dire que le minimum est 1 (pure conjecture, exemple : 1, 10, 100...) et que le maximum est 9 (obtenu avec 111111111).

nodgim · #7

J'ai la moitié de la réponse, à savoir le max qui est infini.
....1000.1000.1000.100004444*
....1000.1000.1000.100004444=
....8888.8888.8888.19749136

On tend ici vers le rapport 32. Mais il suffit d'ajouter des 4 à droite et d'allonger la séquence 1000 par autant de 0. Le rapport tendra vers 8k, c'est à dire vers l'infini (on suppose négligeable les 4 du départ car on peut multiplier la séquence 1000.. autant qu'on veut).

Nota: la séquence des 8 sera perturbée ici ou là par l'ajout d'unités impaires de temps en temps, mais ce n'est pas significatif.

Pour le minimum, je n'ai pas de réponse pour l'instant.

Sydre · #8

Bon alors je suis pas beaucoup plus avancé mais j'avais faux :

48989999 donne un rapport de 2/10

Les minima pour les nombres de 1 à 6 chiffres sont dans l'ordre :

1 et 9 donnent 1
49 donne 7/13
149 et 549 donnent 1/2
4899 donne 3/10
48990 donne 3/10
489899 donne 13/47

Les maxima pour les nombres de 1 à 5 chiffres sont dans l'ordre :

3 donne 3
12, 22 et 31 donnent 4
313 donne 40/7
1113, 1122, 1212, 2022, 2121, 2202, 2211, 3111 et 3114 donnent 6
11113, 11122, 12202, 20122, 20221, 22102, 22111, 22113, 31111 et 31122 donnent 7

Le plus grand rapport que j'ai trouvé est celui de 111111111 qui donne 9

Autre observation : RS(n)=RS(n*10^k) avec k entier naturel

On connait ainsi sans calcul 9% des rapports des nombres de n chiffres si l'on connait les rapports des nombres de n-1 chiffres.

enigmatus · #9

J'ai poursuivi l'expérimentation (voir #4) jusqu'à n = 1 000 000 000. Les valeurs min et max du rapport ne changent pas.

Code:

Valeur min du rapport
 13/65 = 0.2 pour n = 
 48989999, 489899990

Valeur max du rapport
103/11 = 9.3636 pour n = 
  22111013,  31011122,  31101122,  31111022, 111202022,
 121011113, 121020122, 121101113, 121111013, 121111022, 
 121111103, 122011022, 122020022, 200211113, 202011113, 
 202101113, 202101212, 202110113, 202111103, 210211013, 
 211011113, 211020122, 211101113, 211111013, 211111103, 
 212101103, 212101202, 220011113, 220020221, 220101113, 
 220111031, 220111103, 220202111, 221011013, 221020112, 
 221020121, 221100113, 221101013, 221101103, 221110013, 
 221110103, 221110130, 301011122, 301101122, 301101212, 
 301111022, 301111031, 301111103, 301111202, 310011122, 
 310110122, 310111022, 310111220, 310112012, 311001122, 
 311010122, 311011202, 311011220, 311101022, 311101103, 
 311101202, 311110022, 311110103, 311110202, 311110220

shadock · #10

Je suis en train de chercher, en attendant informatiquement j'ai fais ceci :

Rapport des sommes :

Code:

def s(nombre):         #Somme des chiffres du nombre
    w=str(nombre)               
    l=list(w)                   
    n=len(l)                    
    S=0
    k=0
    while k<n:
        S=S+int(l[k])
        k=k+1
    return S

def RS(nombre):        #Rapport des sommes
    return s(nombre**2)/s(nombre)

Recherche du maximum :

Code:

r = 0
l = 0
for i in range(1, n):
    L = RS(i)
    if L > l:
        r = i
        l = L

Pour n=100000 :

On obtient : 11113 dont le RS est 7.0 obtenu en 1.612 seconde.

Pour le moment je n'ai trouvé aucun nombre ayant un RS strictement inférieur à 1.

En outre j'ai attaqué le problème en mode bourrin avec des sommes, du Cauchy Schwartz et bien d'autre, en espérant obtenir une majoration et une minoration pour un nombre de départ.

Pour le fait de savoir qu'il n'y a pas de limite au RS je n'ai pour le moment pas d'idée.

Shadock

papiauche · #11

J'ai testé tous les nombres de 1 à 33000.

Je conjecture que la limite inférieure est égale à 0,3 pour les nombres de la forme 4899*10^n.
4899^2=24000201
Rapport égal à 9/30.

Pour la limite supérieure je conjecture qu'elle égale à 7.
Avec deux types de cas, somme des chiffres égale à 7 ou à 9.

Exemples:
11113
11113^2=123498769
Rapport égal à 49/7

22113
22113^2=488984769
Rapport égal à 63/9

Je lirai avec intérêt la belle démo.

Vasimolo · #12

Pour se faire une petite idée des résultats proposés :

Promath- : 2/9 <-> 10
Sydre : 2/10 <-> 9
Enigmatus : 2/10 <-> 103/11
Fix : 1 <-> 9
Nodgim : ? <-> infini
Shadock : 0,41 <-> 17,9
Papiauche : 3/10 <-> 7
Halloduda : 1/4 <-> 5

Je ne donne pas d'avis pour le moment

Vasimolo

shadock · #13

Un truc simple à démontrer est que pour tout nombre A de départ on a RS(A)<=S(A)

Ceci vient du fait que pour tout a,b dans N on a S(ab)<=S(a)S(b) ainsi RS(A)=S(A²)/S(A)<=(S(A)S(A))/S(A) d'où le résultat.

EDIT:
La plus petite valeur que j'ai trouvée pour RS est 0.41 pour 388999
La plus grande est >17.9 pour

Code:

1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

Shadock

Promath- · #14

J'avais proposé 10 en lim. sup

Vasimolo · #15

J'ai corrigé Promath-

Vasimolo

Promath- · #16

Peut on contredire les résultats des autres en apportant une preuve?

Je ne suis pas d'accord avec nodgim, papiauche et halloluda sur leur limite supérieure
1111111111111111111 nous donne un RS de 8.89.

Quant à l'existence d'une limite supérieure:
Un carré d'un nombre à n chiffres possède 2n chiffres max, qui seront au mieux des 9, et si on considère le nombre à n chiffres, il sera au mieux composé de 1. Ca fait un rapport de 2n*9/1n soit 18

Sydre · #17

Ça y est j'ai enfin réussi à démontrer qu'il n'y a pas de limite supérieure

Il suffit de considérer la suite de motifs (m_n) définie par m_n=10^(2*n) pour tout n > 1 :

100, 10000, 1000000 ...

Pour un motif m_n donné, le rapport de somme du nombre formé en répétant m_n-1 fois m_n vaut 18*n :

RS(100100...100)=1*18=18
RS(1000010000...10000)=2*18=36
RS(10000001000000...1000000)=3*18=54

On peut donc construire des nombres avec un rapport de somme aussi grand que l'on veut !

papiauche · #18

S'il y a une borne inférieure, je pourrais rejoindre le consensus à 0,2 des rois de Python avec 48989999

48989999^2= 2400020002020001

Le rapport vaut 13/65

Pour la limite sup j'ai progressé:
Partons par exemple de 11, le rapport vaut 2.
Le nombre de chiffres de 11^2 est 3.
Posons n1= 10^3*11+11
La somme des chiffres de n1 est 4
n1^2=121*10^6+2*11*11*10^3+121=121242121.
La somme des chiffres de n1^3 est donc 16.
Le rapport des sommes vaut 4.

On itère avec les nombres de la forme 11011[011011 n fois]

Par récurrence on obtient tous les puissances de 2.
La suite n'a donc pas de limite supérieure.

shadock · #19

Par curiosité voici le graphique de la suite pour les valeurs de n comprises entre 1 et 999, on peut zoomer sur l'image !

Shadock

enigmatus · #20

Suite du #4 et du #9 (calcul poursuivi jusqu'à n = 10^10)

Code:

Valeur min du rapport
 13/65 = 1/5 = 0.2 pour n = 48989999, 489899990, 4898999900

Valeur max du rapport
126/12 = 21/2 = 10.5 pour n = 2211101013, 3101011122

Vasimolo · #21

Ca progresse très vite , surtout du côté du maximum . C'est vrai que le minimum est beaucoup plus délicat

Je vous fais confiance pour les calculs faits à la machine . Je vérifierai les démonstrations proposées mais l'absence de LaTeX rend la lecture assez pénible donc ne soyez pas trop pressés

Bonne recherche

Vasimolo

fix33 · #22

Le tableur me permet de trouver un minimum (partiel) à 0,3 pour 4899.
Je n'ai pas le temps de faire un programme, mais c'est certainement la meilleure solution (en dehors de la démonstration balaise).

Vasimolo · #23

Bon

Plusieurs démonstrations ( Nodgim , Sydre , Papiauche ) montrent qu'on peut rendre RS aussi grand que l'on veut : la borne supérieure est infinie .

La borne inférieure semble poser un peu plus de problèmes .

Vasimolo

nodgim · #24

La borne inférieure semble en effet bien difficile à trouver.

D'une façon générale, on peut toujours avancer un nombre avec une somme de chiffres faible, par exemple:
10000000000000000000000000000000000000000001
Mais il faut chercher le carré supérieur le plus proche, et donc la moitié droite du nombre va évoluer vers une valeur qu'on ne maîtrise pas. La valeur moyenne d'un nombre valant 4,5, la racine carrée du carré immédiatement supérieur à ce nombre aura une somme de chiffres équivalente à son carré. Donc un rapport 1.

On peut améliorer ce rapport en cherchant par exemple la partie entière de la racine carrée de 10^(2n+1) et en y ajoutant autant de 9 que comporte cette partie entière de racine carrée.
Exemple:
[rac10^9]=31622
3162299999²=(31623*10^5-1)²=31623²*10^10-2*31623*10^5+1=
10000141290000000000-
.................6324600000+
.................................1=
10000141283675400001
Mais on obtient, hormis les 0 et 1 d'extrémité, un nombre non maîtrisable de longueur égale à la racine carrée. Avec tout de même un avantage pour la racine carrée qui comporte pour moitié des 9. Statistiquement, cet avantage nous fait arriver à un rapport de 2/3. Ce qui est décevant compte tenu des scores qu'on obtient par recherche systématique.
On peut à la limite trouver ça ou là un avantage à multiplier par une puissance de 10 plus petite pour réduire le nombre central:
1000014129000000-
..............63246000+
...........................1=
1000014065754001 dont la racine est 31622999.

Mais c'est au cas par cas, et très aléatoire (ôter un 9 ou plusieurs peut être ou non avantageux).

Donc, au final, rien ne dit qu'un bon score est définitif, mais on peut supposer que le battre avec un carré plus grand sera de plus en plus difficile à obtenir.

Vasimolo · #25

@Nodgim : as-tu essayé avec des nombres du genre 99999499999499999 ?

Vasimolo

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#1 - 21-08-2015 17:41:05

Rapport de Sommess

#0 Pub

#2 - 21-08-2015 18:19:35

rapport de spmmes

#3 - 21-08-2015 20:19:02

rapport fe sommes

#4 - 21-08-2015 20:28:33

Rpport de Sommes

Code:

#5 - 21-08-2015 22:52:58

Rapport de ommes

#6 - 21-08-2015 23:58:24

rappoet de sommes

#7 - 22-08-2015 11:12:42

Rapport de Somme

#8 - 22-08-2015 12:25:55

rapport fe sommes

#9 - 22-08-2015 12:51:19

Rapport de Sommees

Code:

#10 - 22-08-2015 16:05:49

tapport de sommes

Code:

Code:

#11 - 22-08-2015 16:22:45

Rappot de Sommes

#12 - 22-08-2015 16:38:53

Raport de Sommes

#13 - 22-08-2015 17:44:56

rapport de solmes

Code:

#14 - 22-08-2015 19:09:05

rapport dz sommes

#15 - 22-08-2015 19:12:57

rapport se sommes

#16 - 22-08-2015 19:50:15

rappprt de sommes

#17 - 23-08-2015 00:17:28

Rapport de Soommes

#18 - 23-08-2015 01:32:16

Rapprot de Sommes

#19 - 23-08-2015 01:52:20

aRpport de Sommes

#20 - 23-08-2015 09:25:05

Rapport de ommes

Code:

#21 - 23-08-2015 10:49:01

Rapport dde Sommes

#22 - 23-08-2015 11:30:45

rapport de solmes

#23 - 23-08-2015 23:49:14

Rapport de Somes

#24 - 24-08-2015 11:47:54

Rappot de Sommes

#25 - 24-08-2015 16:55:46

Rapport de Somems

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