Salut Portugal,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre. Un rationnel à écriture illimitée se distingue parmi les reéls par son écriture cyclique à partir d'un certain rang.

Ce sont les rationnels dont le dénominateur est de la forme [latex]2^r\,5^s\,a[/latex] avec r,s entiers positifs et a=1, 3 ou 9.
On ne considère pas comme cyclique un développement dont les décimales sont constantes à partir d'un certain rang.
Par exemple on considère que 1/3 = 0,3333333333... n'est pas un développement cyclique (sa période est 1).

Je comprends mieux ce que tu demandes, mais c'est plutôt classique.

On appelle un nombre décimal un nombre dont l'écriture est limitée après la virgule; Mis à part les entiers, les nombres décimaux sont des fractions dont le dénominateur est un multiple des seules puissances de 2 ou 5. En effet, il suffit de multiplier ce nombre par 10 puissance (la plus forte puissance de 2 ou 5) pour obtenir un nombre entier, et comme la redivision par 10 (cette même puissance) déplace la virgule d'autant de chiffres, alors l'écriture est limitée.

A contrario, toutes les autres fractions ont une écriture décimale illimitée.

Si c'était ça ta question, bien sûr.

Et j aurais pensé qu'un nombre est cyclique même si sa période est 1...

Moi aussi !
Mais puisque tu élimines les nombres cycliques dont la période est 1, de la forme
2,54 = 2,540000000000000000...
j'ai crû qu'il fallait éliminer tout nombre cyclique dont la période est 1 !

Dans ce cas seuls les nombres rationnels dont le dénominateur est de la forme [latex]2^r\,5^s[/latex] avec r,s entiers positifs, ne sont pas cycliques.
Autrement dit seuls les nombres décimaux ne sont pas cycliques.

"Trouvez l'ensemble des nombre rationnels  qui ne présentent pas, en base décimale, une écriture cyclique (ie X,YZZZ... ou -X,YZZZ...  avec X, Y et Z entiers naturels)."

Réponse: les nombres décimaux (dont les entiers).

Pour les rusés, je ne compte pas X,Y000... comme ayant une écriture cyclique.

Réponse: si on exclut les décimaux, ne restent que les entiers.

"Quel rationnel se distingue de tous les autres ? "

Réponse:
De quel point de vue ? Si on y réfléchit bien, chaque rationnel se distingue de tous les autres.

Je ne vois vraiment pas où tu veux en venir....

Je dirais p/q, p et q entiers, avec q non multiple de premiers autres que 2 et 5.

Celui qui se distingue est 0, car q peut valoir n'importe quoi.

Par definition, les nombres rationels sont le resultat d'une division de 2 nombres entiers, et leur écriture décimale est:
- soit repetitive,
- soit se termine si le diviseur est composé uniquement de puissances de 2 et/ou de 5.
Je ne vois pas d'exception à ca.

Bonjour

D'ordinaire rationnel=cyclique si l'on admet X,Y00000... comme cyclique, c'est une des caractérisations des rationnels.
Au sens strict, il n'y a donc pas de rationnel dont le développement décimal est acyclique.
Si l'on enlève une suite infinie de 0 comme cas acceptable de cycle, on a un autre problème car même 3 (càd 3,0000...) admet une écriture une écriture cyclique (dite impropre) car 3=2,999999.....

Premier cas : on admet les écritures impropres, en ce cas, seul 0 se distingue et il est le seul à être acyclique

Deuxième cas : on ne les admet pas et les acycliques sont les décimaux (nombre fini de décimales non nulles).

Pour moi les cycliques sont tous ceux qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible ayant un facteur 3 ou 7 au dénominateur, donc les autres ne sont pas cycliques.

(A part si on considère que 0/7 est autorisé, et dans ce cas il faut rajouter "sauf si le numérateur est 0")

EDIT : grosse bêtise... /11 ou /13 donne des cycliques aussi...

Ce serait donc plutôt dans l'autre sens qu'il faut prendre le problème... J'ai comme l'impression que ne donnent des non cycliques que ceux dont la fraction irréductible ne donne que des facteurs 2 et 5 au dénominateur.

Tu m'a surpris en cours d'édition...

INDICE 2 TAILLE

Pour la dernière ligne droite je vous mets sur la piste : seul un nombre (qui se distingue donc des autres ) répond à la caractéristique souhaitée. Lequel et pourquoi ?

Si tu penses à la  classique discussion sur le cycle 999999.... , à ce moment là, seul 0 n'admet pas de développement illimité non égal à 00000....