@Franky1103 : si tu prends une particule de fromage située près d'un sommet du cube, il est possible qu'elle finisse dans l'estomac du chat, si le fromager choisit de faire passer son crayon par une grande diagonale ne contenant pas ce sommet.

En revanche, une particule de fromage située au centre du cube est certaine de se faire dévorer par le chien, elle se fera éjecter par le crayon à coup sûr ! On demande le volume du fromage qui est dans ce deuxième cas.

Je viens de comprendre: on cherche le volume qui se trouve à l'intersection des 4 grandes diagonales. Avec ma découpe du cube en 24 pentaèdres de l'énigme précédente, je devrais y arriver: je reviendrai plus tard.

Edit: Je découpe le cube en huit petits cubes identiques, aux rotations et symétries près, constitués chacun de 24/8 = 3 pentaèdres dont un seul est à cette intersection.
Le volume du fromage dont on est sûr qu'il finira dans l'estomac du chien est donc du tiers du volume du grand cube initial.

Re-édit: Je pense qu'on peut aussi raisonner en probabilité. Comme il y a 4 diagonales "exclusives", on a 1 chance sur 4 que cette part n'aille pas au chien.
Soit x la proportion du cube cherchée. On aura: x + (1/4).(1-x) = 1/2, d'où: x = 1/3.

Mince ! Avec deux méthodes différentes, je trouve le même résultat ... faux.
Le centre de chaque carré bordant le cube est un point du volume cherché.
Serait-ce alors un octaèdre régulier de volume: V=(V2/3).A³, avec: A=(V2/2).a,
soit: V=(1/6).a³ ?

Je suis parti sur un tétrakihexaèdre en prenant le rapport entre le rayon de sa sphère circonscrite (1) et son volume donnés par http://www.mathcurve.com/polyedres/tetr … edre.shtml

@gwen27 & Franky1103 : amusant, vous pensez tous les deux à la même chose dans votre dernier message. Ce n'est pas tout à fait le bon polyèdre, mais vous n'êtes pas loin du tout. Le bon polyèdre est plus simple...

Effectivement, on obtient un dodécaèdre rhombique d'arete : rac(3) /4

et donc, de volume : 1/4

Merci à gwen27 & Franky1103 pour leur participation, et bravo à gwen pour avoir trouvé (et pour sa figure). Effectivement, comme il l'avait observé, la figure obtenue est un dodécaèdre rhombique, dont 6 sommets sont les centres des faces du grand cube, et les 8 autres sont les centres des 8 petits cubes.



Comment le voir sans logiciel ? On se place dans un des 8 petits cubes, et on étudie son intersection avec les 4 trous de crayon potentiels.



L'intersection du petit cube avec un des 4 trous est égale au petit cube entier. Pour chacun des 3 autres trous, cette intersection est une pyramide dont une base est une des 3 faces du petit cube situées à l'intérieur du grand cube, et dont le sommet est un sommet du petit cube. Sur le dessin, une telle pyramide est par exemple celle dont la base est la face arrière du cube, et dont le sommet est le sommet du cube le plus en bas de l'image.

L'intersection des 3 pyramides donne l'hexaèdre représenté en bleu, hexaèdre qui représente 1/8 du dodécaèdre rhombique. On peut noter que toutes les arêtes de ce dodécaèdre rhombique sont des demi-grandes diagonales des petits cubes.

Pour terminer, le calcul du volume : le volume de l'hexaèdre bleu est 1/4 de celui du petit cube, car on peut recoller 4 hexaèdres bleus pour obtenir un petit cube. La figure suivante montre comment placer les deux premiers. Ceci implique que le volume du dodécaèdre rhombique vaut également 1/4 de celui du grand cube.

Merci à gwen27 et à Ebichu pour leurs figures: je comprends mieux maintenant. Un dodécaèdre rhombique est un polyèdre à 12 faces (toutes losanges), à 24 arêtes et à 14 sommets. J'avais bien ces 6+8=14 sommets, mais je ne suis pas arrivé à conclure.