Enigme Un nombre très pair... @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous.

Et une très bonne année 2017 à tous les prisedetêtenautes !
(remarquez que 2017 est un nombre premier et que le prochain est dans 10 ans...)

Pour démarrer en douceur, cette petite énigme consiste à trouver le nombre composé avec les seuls chiffres 4 et 8 qui soit divisible par 2 le plus grand nombre de fois possible.

Bonne recherche.

aunryz · #2

(hello)

8448 pour commencer ?

(pas eu le temps de creuser ...
toujours intéressantes tes recherches.)

et bonne année

Ebichu · #3

On peut fabriquer un tel nombre divisible par 2 autant de fois que l'on veut.

On peut démontrer cela par récurrence. Par exemple, 88448 est divisible par 2^7. On peut le continuer en 488448 = 88448 + 2^7*i où i est un entier impair, ou en 888448 = 88448 + 2^7*p où p est un entier pair. Suivant que 88448 est divisible par 2^8 ou non, on choisit 888448 ou 488448 (dans ce cas précis c'est 488448 car 88448 n'est pas divisible par 2^8), et on obtient un nombre divisible par 2^8.

En généralisant, on obtient à chaque étape un nombre de n chiffres divisible par 2^(n+2). Les premiers chiffres sont ...488 444 448 444 844 444 848 488 448.

nodgim · #4

@ Aunryz : bon début.

@ Ebichu: t'es sûr ?

Ebichu · #5

Oui Qu'est-ce qui te déplaît ?

aunryz · #6

Bien sur
ex aequo avec le nombre que j'ai proposé
il y a
844884488448 ....8448

Mais
mieux, il y a (je crois) 488448

encore mieux 48488448
ou 44848488448
ou 844848488448

(2 exposant 15)

4444848488448

(2 exposant 19)

44444848488448

(2 exposant 23)
444844444848488448

(2 exposant 24)
4448444844444848488448

(2 exposant 25)
44448444844444848488448

(2 exposant 28)
444448444844444848488448

(2 exposant 31)
8444448444844444848488448

(2 exposant 34)
4488444448444844444848488448

et je n'ai pas encore vu pourquoi cette suite serait majorée.

nodgim · #7

@ Ebichu: je ne doute pas un seul instant que tu as compris, ton message est cependant un peu embrouillé. Je valide tout de même. Bravo à toi !

@ Aunryz: Eh oui, pourquoi en serait-il autrement ???

scarta · #8

Question bête (question quand même): ça s'arrête un jour ?
Parce que là j'en suis à 4448488444488848448848484448484484488444448444844444848488448 = 241153041789573589122530511098703686248353 * 2^64, je me suis arreté là parce que 64 c'est joli, mais bon je pense pouvoir continuer encore longtemps comme ça et je fatigue ...

nodgim · #9

@ Scarta : Ta question est une conjecture, c'est déja une bonne avancée, il te reste à y répondre. Bon courage.

aunryz · #10

hello

je m'interrogeais

"je n'ai pas encore vu pourquoi cette suite serait majorée."

et (nodgim) tu me réponds :

"Eh oui, pourquoi en serait-il autrement ???"

A priori (vieux conditionnement d'élève ? (sourire)²)
j'accepte le but qu'on me fixe
"trouver le nombre composé avec les seuls chiffres 4 et 8 qui soit divisible par 2 le plus grand nombre de fois possible."

Je ne voyais vraiment pas pourquoi
la suite de ces nombres
(satisfaisant de façon croissante à l'objectif fixé pour ce qui est de la puissance de 2)
serait majorée
et cela m’intriguait fortement.
J'y voyais une singularité intéressante.

D'après ta réponse je comprends que je me suis fourvoyé
(il ne fallait pas te faire confiance (sourire)²
ou mieux lire ton questionnement.)

Il n'y a en effet aucune raison que le nombre que nous cherchons existe.

Ce que tu demandes donc
c'est de trouver un moyen d'en fabriquer ?

Allons y (en essayant d'être clair)

partons de 8 = 2^3
en lui ajoutant 40 = 2^3 x 5
on obtient un "nombre pair de 2^3 (sourire)
soit 6 x 2^3 = 3 x 2^4

L'exposant a progressé d'une unité
on ajoutera donc à ce nombre 400 chez qui le 2 est à la même puissance
(voir image)
pour obtenir
2^4x3+ 2^4x25=2^4x28 = 2^5x14 = 2^6x7

L'exposant a progressé de deux unités
on ajoutera donc à ce nombre 8000 chez qui le 2 est à la même puissance
...
Le problème se pose lorsque l'exposant "grimpe trop"
il faut alors temporiser (à coup de 800...)

pour le détail :

C'est ainsi qu'on peut parvenir par exemple à

4448488444488848448848484448484484488444448444844444848488448
= 2^64 × 3 × 11 × 521 × 1694239 × 14221860451 × 582116612730356302189

en surveillant l'augmentation de puissance
(4 pour un écart d'1 avec n + 2 si on considère que le premier terme (8 = 2^3) est de rang
1
et 8 dans les cas contraires)

Ebichu · #11

Je vais essayer d'expliquer un peu mieux.

88448 est divisible par 2^7, mais il n'est pas divisible par 2^8 : on va donc le continuer en rajoutant un 4 devant. En effet, 88448 = 2^7 * i_1, où i_1 est un nombre impair. Et 400000 = 4*10^5 = 2^2*2^5*5^5 = 2^7*5^5 = 2^7 * i_2, où i_2 est un nombre impair. Donc 488448 = 2^7*i_1 + 2^7*i_2 = 2^7*(i_1+i_2), et comme (i_1+i_2) est pair, 488448 est divisible par 2^8.

Continuons avec 488448. C'est l'autre cas : il est divisible par 2^8, mais aussi par 2^9 (en fait, au maximum, on peut le diviser par 2^10). Dans ce cas, on le continue en rajoutant un 8 devant : en effet 488448 = 2^8 * p_1 où p_1 est pair, et 8000000 = 2^3*10^6 = 2^8 * 2*5^6 = 2^8 * p_2 où p_2 est pair. Donc 8488448 = 2^8*(p_1+p_2), et comme (p_1+p_2) est pair, 8488448 est divisible par 2^9.

Plus généralement, si le nombre à n chiffres est divisible par 2^(n+2) mais pas par 2^(n+3), on le continue en rajoutant un 4 devant , et si le nombre à n chiffres est divisible par 2^(n+3), on le continue en rajoutant un 8 devant.

L00ping007 · #12

Je proposerais l'énoncé suivant, à démontrer :
Quelque que soit n, on peut trouver un nombre à n chiffres composé de 4 et 8 uniquement, qui soit divisible au moins n fois par 2.

Voici les meilleurs nombre que je trouve pour chaque valeur de n.
Certaines valeurs de n n'améliorent pas le meilleur score des n inférieurs, mais le meilleur nombre pour chaque n est toujours au moins disivible par 2^n

n=2 : 48 divisible 4 fois par 2
n=3 : 448 divisible 6 fois par 2
n=4 : 8448 divisible 8 fois par 2
n=5 : 88448 divisible 7 fois par 2
n=6 : 488448 divisible 10 fois par 2
n=7 : 8488448 divisible 9 fois par 2
n=8 : 48488448 divisible 13 fois par 2
n=9 : 848488448 divisible 11 fois par 2
n=10 : 4848488448 divisible 12 fois par 2
n=11 : 44848488448 divisible 13 fois par 2
n=12 : 444848488448 divisible 14 fois par 2
n=13 : 4444848488448 divisible 15 fois par 2
n=14 : 44444848488448 divisible 19 fois par 2
n=15 : 844444848488448 divisible 17 fois par 2
n=16 : 4844444848488448 divisible 18 fois par 2
n=17 : 44844444848488448 divisible 19 fois par 2
n=18 : 444844444848488448 divisible 23 fois par 2
C'est pour l'instant le plus grand que j'ai trouvé

J'imagine une construction itérative de ces nombres, mais je n'arrive pas encore à le formaliser ...
En effet, à chaque rang, le meilleur résultat est issu du rang précédent, en ajoutant un 4 ou 8 en début de nombre.

EDIT
Pour continuer la liste
n=25 : 8444448444844444848488448 divisible 31 fois par 2
n=28 : 4488444448444844444848488448 divisible 34 fois par 2
n=31 : 4484488444448444844444848488448 divisible 35 fois par 2
n=33 : 484484488444448444844444848488448 divisible 38 fois par 2
...

---

Je pense l'avoir.
On peut même conjecturer
Quelque que soit n, on peut trouver un nombre N(n) à n chiffres composé de 4 et 8 uniquement, qui soit divisible au moins n+2 fois par 2.

Démonstration par récurrence

1. C'est vérifié pour n=2 : 48 est divisible par 4
2. Si c'est vérifié au rang n.
On a donc un nombre N(n) = 2^(n+2).q (q pouvant être pair ou impair, on ne s'occupe pas ici d'avoir trouvé le nombre optimal)
Construisons le nombre suivant :
N(n+1) = 4x.10^n + N(n), où x vaut 1 ou 2.
C'est N(n) auquel on ajoute 4 ou 8 à gauche.

* N(n+1) a n+1 chiffres : on a ajouté 4 ou 8 devant l'écriture de N(n)
* N(n+1) = 2^n . [4x.5^n + 2^2.q]
= 2^(n+2) . [x.5^n + q]
Si q est pair, on prend x=2
Si q est impair, on prend x=1
Dans les 2 cas, x.5^n + q sera pair
On a donc N(n+1) divisible par 2^(n+3)
CQFD

---

Je ne trouve par contre pas de relation évidente (en existe-t-il) entre n et la "meilleure" puissance de 2 divisant un nombre à n chiffres composé de 4 et 8.
L'écart entre n et ce nombre n'est pas linéaire, semble légèrement augmenter avec n, mais je n'en suis même pas sûr !

scarta · #13

En effet, mais la question est vicieuse : comment trouver un nombre qui n'existe pas...

Bref, par une récurrence forte, on peut montrer que
- N est un tel nombre, avec N=2^p * k, k impair
- résultat possible pour toute puissance inférieure à p
- notant d le nombre de chiffres de ce nombre en base 10

alors
- je peux trouver N'=2^p'*k' avec p' > p: soit N1 le nombre qui correspond à la puissance (d-p), N' est alors la concaténation de N1 et N (puisque N1 suivi de d zéros est multiple d'une puissance 2^p et pas plus, et idem pour N, alors leur somme donnera un produit une puissance 2^p et un nombre pair, dont on tirera d'autre facteurs 2 pour trouver p')
- si p' = p+1, on est bon
- sinon, il faut trouver les valeurs intermédiaires entre p et p'. Je pars de p', il a une longueur d', et je cherche un p" compris entre p et p': je prends le N" qui correspond à la puissance p"-d', puis je le concatène avec N': le résultat est multiple d'une puissance 2^p" par construction, et pas plus

Partant de N=8, avec un résultat pour p=3 (8) et p=2 (4), j'arrive donc à sortir n'importe quel puissance.

Ca se code bien.

Code:

48488488888888488884888844484848448888444844884484448884444488444884888488484444
44444448848444844488488488488444844488848444484488844888484484484488444448844448
84884848844484448444844888448444888448884488444488484888484844848848488484444844
48444444884888888484848844844448888888484448844844488848448488484448444488884448
84444844844448448844844884844484444488848848448484444484884488444488448484848484
88448884488484448844484448888884888884888848484848444444448884844844848888448884
88884488484444444484884888484448848884844444444484844448484484884488844844484848
48888448448444884884448884448444444848488884888884884488888888488844844488848444
44484884844888888444484848488848844444484484448844448444484888848448888488848884
88844884448888888488844448488844884884884488444444448848444888884444488444484844
84888848488488448848888848848444488888844484448848484848444888848488888484884844
44488488448444888484484888484884888888848484488888448848448848848844884884884884
48848844884484444844484848448448848844884444888844888444848488444484488484884848
48884448444448448488844488448484444484888888844444844484888444888484884848848848
48844888484884888888488448484488448488848484488448448484488844444488888888884844
84888844888448444888488448444884444444448888488488844884884884884884488488444448
84848884444884884884848848888488448484884848444448484884848884488888848448448448
44448444848884844848444844888888848848444844488444484844888488488448448484884884
88484884444888488444444484484448844444888488888844888888448884488848888884848484
88484484884448848488884488444484444488848884848844484844844488848444448848448488
88448444848488888448484484848884844844844444888884488448448488848848448888484484
48488488844884484444484844884844848448884884484444444448444888848448444848484884
84844888844888484884444844448844444448488884484888888888884888884888444484488888
48488848488888444484844848844444848884848884884884884884484448484484444888484448
88484488844844448888488888844444488884844844844848888844488444488884448884484448
88444444448848884884884488488848888884444484888844888888888448848484448488488448
48448888848888888848888488448484884488484848448488888448848844484488484448488848
84444888888884888844488448888448884888888484848848448888488848844484844844444488
84488844848484844888848484488844888884484488444488844848844444848888484444848448
88444488444848488444888488888848448484844444884884448448848484848448888444848444
44844444848884444848844844488888484484488444448844844884884844884448888448888884
44848844884484448888844448844448448484484844488444484848488444444484484444444448
44888848848484448448848444484444444844448448888444444448444484888488488888488444
44488884848444848884848484444484888444844844484448844888848844888848844844484488
88444884888844484448444888488888444488444844884884888844888488884888484848888888
48884484884484848488488888448444848488888888888844448888448488448884444884884888
48448488848844888848484848484488488888448448444844844888444448444848844888844484
48848444448444848884444448484848444888848888488844884444448844484844844888444484
48844444444848484488848884848844488848848844844448444848884844884448444884888844
88888844884884444844484888448848888884444448488844484844484484888844488448484888
48448488488488448484448888448888488844844488484848848448488884488848844884448848
44448844488844884884484844484484444844448488488484444444484844888848444884488884
88848844488448444448484888884444884844444844848448488444884844844444888448488488
44844844448848884488884488448884848888848844884444448484448484848884884884444444
84484484484844844888484884444448484884448848484844888884444484448844848848484844
88488448844884844488888444484448448888484884444848448488484888844448844488844444
88444488888488444488848444888484444484448484848444848848844848484444848448488488
84888844488848484844844488484488484448444844444888844888844888848848888484448888
44844484484884448848844884484488844448844448448484844448848844848888848488484488
48884884848448448448448888844484888484888848488484448848484848448444444444484484
48848484484448844848444848448884848844888844444484888884848484484888444888888884
84888444444484844444444884484844848488484444488448848448484848884848844888488888
88444488488484884448884848884444888448884444848484484888888888488448448444884844
84888844488444848844448448488484448488484488448444848848888844444488484484484444
84884448488484844448848488444444888484448848484488488484844844448848448488488888
84448488848484848844488484448444844484888888848444844444848884484484884448444484
44444484884848884488448488448888884848888844448848484844884484884448884884848488
48884488888888884484484444888448848888848484844484484448888884848848884848488888
84884884888448888884884444884448884888444448484888488848448884844844448884448444
48888888888848844884848488848444488444888488484844444888848848484848448448444444
88484484884848888844488888844444448844888444844884848444448444484888888444848888
88444888484444448484844444444484444448484888484888444844844448448448844888488884
88444484844448484848484844444884484884884484488844488444484848888484888444444888
44488884444844848848888848844448448844884848484884484888484488844844844888848448
84884848444848488448888884488484884444844884884448848884844444844888844444444884
48848848888848844884848884444444444484848444848488444448848844444444848844844488
44484448844448448884444444884448888888884884444848488884884884448488444888888448
44848884888848444484844488884448444488484488484484848484444884888884484884444444
88848844484888884844884488444488448884844848848484844484444888884844448844488488
88848884444844488448888444888488484888844884488884848484884884444884488844844844
84488844444888884448844488444884888884444888884888848844848484844488884484444848
84488888484848844884444448448888848448888448448488488448448844488844444448884448
44884448488844848488848844844884848448444484484848844444888448444884844484848884
88844888848848848488884888844484484844844448888488848488848888844888488484844488
84884444848484884444888484884848444848888884888488848444888448848488888844484444
84884844444884848844484884844884448484884884484844848884844848848848448444884484
84848884888488488848444884884484484848488444844444448484484888884844888448884884
88884484888484484488888448888888888444448884888848884884888884844444444848488848
48888448888484888884884484488484444848484884484844888448444888888448484884848488
48848884888844448844848848848884448484484848884448488488884888884484488884448848
88844448448484488484888848488488488848448884444884484884888848888444488448888844
88484888484844888484484448844844884848448444848448448844888488444844448488488488
88488848444844844444884488844844884848844448844448484448848488844884844488448484
48484884848888848444884484484884848888844488844848448848848484484844884444844448
44884444844448488844888844884484884444844848844488848884884844484888484848844844
84844488484888444484444848444848444884488448488488848888848884844444844448884844
44484484884884884888448844448444448488884848884444444488848888844884884844844888
88848884888448444848844848444488448488444484848888888888888888884448848848848484
48844844888488844448844888844488448884888444448844448884484844484844484888844848
48884844844888844488444888844848448488844884844848448448488488444848848848848484
88884484884488848888844888844888488844844448884884844884848848484444444448844848
84448444484888444848884884484884888488848444844848888444884448888484488444484448
88488488884484884484888884844884884848484844844484448488448844848888844844844888
84844484444444484448884488484844884488848444488884888448888844848484488884848884
44444884844488844488484488884488488484844488444484448888884484444844448844844484
48848488444444448888444884848484888888444848444888448844888448884888848884844444
48844884448448844484888888444888444844888484844844888848888444448444848888844888
84484884484884488848488844844844448484484484888488888484884448448888484444844888
88848848448448844884844888884484844444844844448448448848848484488848484844484484
88448448844848848884844884848888448888448844488448884884444844844484848484488844
88448484448888888884448884848888484844488884888884888844844844484888884848484848
48448848888484448848884444884448488448888848884484444844844884488488848448848888
48484848444448844444888444488444844488444484884848844444884884448448884484444844
48444888848448888844444444488488484888848884444448884848884488888488444888488888
48844884888888444488888444884484444884848888484444884844884844488448844844448448
88444888848888488444844488448848488448488448848444848484884488448888488444844884
44488444844848444484444844488888444848448488888888448484484884484844888488448844
84448444888884488484884884848888484484444848844488844444884844488444484488448888
48444848484884888844488488484484488488844844488848484848848448488484488488884884
88844848844884884888488488884884884884888884884488484848484848448448848448448444
88888884888888848884848484884488844844888844484484888444888884444484844884884848
44884484484488444888448484484448844444448488484884488844884488488448444884844444
84448844888844488848444448844448488844484884888888448844484884448888444488884884
84488444848448848448488444884448844444484884488888844484888888448884484884488884
48888888488448444484884444848484888848884488884848488444888884844888488444488884
88488844884448844844444884444888484844448488488484448844848484844888884888884884
48444444444844888448484844488844484444484848888484484888844448484488448844484484
88448888844888848484448844484884888484884444848484848448448484448848448884848484
48884844888844848884444488888848888448844488848888844448844488448488888444844444
44448844844884844884488488488444444884888844444848884448844488888444448488844848
84444444488888848444848884488888844848488844444844484448888444448844488888484844
44884884488488488888884844448448844848444888844484884848844448848448888448844444
48888444444884448844888884884448448888884484888484844888848448888848484448844884
88484888448444444884848444848884484844848444848444848484884844484884888484444884
44848484448848888884848484444448848488848448888484484884844448844484488888444844
44444844884448884484484448444844848888488848488484484884448848888884444488488444
44888444888448844844444844888488488844444844844888488444488848444484484484848484
88848444484488488444444888444884488448484888848884848444448484848848448484444884
88448884844484884488844484848844888444848448448848488488484844888448448448848884
44884844888888488448444848848484848844844888488484844848448444448484484888484844
44488848488884844444844444484444884488844444488488848448488484884888488484884488
48488488444488444444488484444848484444484884844888444488844484844848844848444888
84448844884884448448444448488888844488488444888448884884448888444848888888884848
44448884444844848448884884484848844884448888488444488844884844884484448848848448
48844884444844444888848448844888888888848844848444484444888488448448888884844484
88888448484884844448488888448888444848448488488888844444444888448488848444884444
44844484448448844888444848844484888888448448844488848884884488488888448484488884
44444444884488848444448888844848488844444488484448848888488884884488888888844884
84488488444884488884484448844488488884448448844484888884848884448848888488884888
44448488484448884888484888484884448484444448484848884844488844888488848448448888
44888848488488848844484884844484488844488848884844448444888484448488488444448848
88444848884444484488888488884448484488884488888484444888488448884448448884484888
48484488848888448888844888884844888484488444488848884848848888888844444884844884
48488488844844444448888448844448488448444444884888844484448848848844448844448888
48484888444444844844444888488848484444888444484448484884488848848488888848888444
84484884844844884844488448848848888884484848488844888444484484848844848488884844
48884888884448484484448488488844448848484488444884488448488848444844884448888884
88848448848848844488488888448884444448484848844484488888884888848848488848448488
48888484484884888844844444848884448884484844448488444488484848844848844888448488
44888484848444848488888884848844448488488488488888848888888848448888448488444888
88484844848888888884884448844484444884888484488844844848884448444888844848844844
84884888448844884484848888488888888448448484848884888888884484884884844444488444
48444888848488444848888884844484484884884888848888888884444488448484484444488444
44844844884448444844488448848444444888488884484444844884448488884848844484848488
48884448444444448884448884848884448884488888488884444444844844848448848844848844
48484448848488488488484448848484484488884848844484488844884884488844888884484888
84448848484844444848484484484444484484488488848888484888884888848848444884848844
44484488888888888884884844888444888448484884488484448448844884448848488848844488
84844488888448844488888888488448484444844888488848844444444444488484844444448848
44448888848444844884844488844448844844444448444448888884844848448448884888888844
88888444484484884448888448488884884488844888484884848488444444444448884444848484
48848484448488448488488884888484884488888444444484844488848848444844484844848888
88448848444488888448448844448848848888884884484848884444448484488484488848484484
88444444848844888888848488488888484488848884488844444484484444484884484448888888
88488484844484488488444884484884448484888884484888884888488848484888848448488444
44444444448884448844448488888848844844844448848444844488844848444848488848444444
44884848488884884488448888444488888488844448888844488488884488484484844444448444
84488444444848444488444444884488848884844844488884448844484884488884884848888488
44444444848888844844844884844488488848888884884484888844488444888484488888484488
84448448884444444484448888844844484484884488844844844848444488844444488848444448
44488448444884484484488444448448488848488448848888844884488888444484844444888484
84888448444484484448448448844844884448848848488444444444444848848884888888444484
44844448848488884444488484884484888484444444444444448888844488848484448888484448
44848844448484884444884448844884848888848888444844848444488884444888888844448888
84444848844488848888884888844488444444884448848448888484844448884844884448848448
48488448448844884444444444444848444448448488888484484848888848844884448888848888
88488848884848444484444448444844888444444844888888888448888848448844848484488848
48888884444448444848848844844848888884848448488888444848488488888448448888448488
84844484444848848848488444848844884844884884884484484484448888484444448844848448
44488888488844488844844888488488844448484484444844888844844848844448444848484848
44488888484888484484888848448888484444888884488448488484484488488884444848488488
84884484888848848848848848888444888888888888888888884444844888844844848484448888
44448488448448888448884848444448484884884484844884444484848444444484848888848844
88848848884844884488488444888848488484848448444844488888448888488448444484848484
48448448844848448444844884888448488844484884444888484488484844484844844884444484
44844444848488448

est un multiple de 2^14820 par exemple.

En mémoire aussi ça se comporte plutôt bien: il n'y a pas besoin de stocker les nombres multiples de puissances supérieures à 2^20 pour atteindre ce résultat

Franky1103 · #14

Cette énigme revient à trouver un nombre composé avec les seuls chiffres 1 et 2 avec cette caractéristique et à multiplier celui-ci par 4. Je construis ce nombre à reculons au fur et à mesure:
- 1er chiffre = 2 (car 2 divisible par 2^1),
- 2ème chiffre = 1 (car 12 divisible par 2^2),
- 3ème chiffre = 1 (car 112 divisible par 2^3),
- 4ème chiffre = 2 (car 2112 divisible par 2^4),
- 5ème chiffre = 2 (car 22112 divisible par 2^5),
- 6ème chiffre = 1 (car 122112 divisible par 2^6),
- 7ème chiffre = 2 (car 2122112 divisible par 2^7),
- 8ème chiffre = 1 (car 12122112 divisible par 2^8),
- 9ème chiffre = 2 (car 212122112 divisible par 2^9),
- 10ème chiffre = 1 (car 1212122112 divisible par 2^10),
- 11ème chiffre = 1 (car 11212122112 divisible par 2^11),
- 12ème chiffre = 1 (car 111212122112 divisible par 2^12),
- 13ème chiffre = 1 (car 1111212122112 divisible par 2^13),
- 14ème chiffre = 1 (car 11111212122112 divisible par 2^14),
- 15ème chiffre = 2 (car 211111212122112 divisible par 2^15),
- etc, etc, …
En fait, quand N / 2^n est paire, on rajoute un 2 devant (n+1-ème chiffre) et, quand N / 2^n est impaire, on rajoute un 1 devant. On peut donc ainsi obtenir un nombre aussi grand qu’on veut finissant par ......844444848488448

nodgim · #15

Le sujet commence à mûrir, les réponses arrivent !

@ Aunryz : ça bien ça l'idée, je valide, même si on peut formaliser plus rigoureusement. Bravo à toi !

@ Ebichu : oui, tu as compris, je le savais dès ton 1er message. Pareil que pour Aunryz, un peu de formalisation serait la bienvenue, mais c'est OK.

@ Looping: c'est d'accord. Je dirais que c'est ta formalisation qui me plait le plus pour l'instant. Bravo à toi !

@ Scarta : tu es celui qui est allé le plus loin dans la vérification de ta conjecture. On peut faire plus propre comme démonstration. L'idée est là, tu l'as comprise. Bravo à toi également.

@ Francky : c'est bien ça également, bravo à toi aussi. Même remarque qu'autres intervenants sur la formalisation de la preuve.

scarta · #16

Petite curiosité sympathique (si on aime)

Le nombre suivant comporte 30744 chiffres, et c'est un multiple de 2^30744

Code:
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scrablor · #17

En divisant de tels nombres par 4, on ramène le problème aux chiffres 1 et 2.
Il me semble possible de créer une suite infinie :
2 divisible par 2
12 divisible par 4
112 divisible par 8
2112 divisible par 16
22112 divisible par 32
122112 divisible par 64
Si un tel nombre de x chiffres est divisible par 2^x, je lui adjoins un 1 ou un 2 au début pour obtenir deux nouveaux nombres A et B, qui sont bien sûr multiples de 2^x. Comme (B-A)/(2^x)=5^x, ce nombre est impair. Par suite, des deux nombre A/(2^x) et B/(2^x), l'un est pair et l'autre impair. Alors A ou B est multiple de 2^(x+1).
D'on l'existence d'une suite infinie et l'absence d'un plus grand élément.

Franky1103 · #18

Tentons une démonstration plus rigoureuse par récurrence.
Soit N un nombre composé de n chiffres 4 et 8 et divisible par 2^(n+2).

1er cas: N/2^(n+2) pair
=> 2x5^n + N/2^(n+2) pair
=> 8x10^n/2^(n+2) + N/2^(n+2) pair
=> [8x10^n+N] / 2^(n+2) pair
=> 8x10^n+N divisible par 2^(n+3)

2ème cas: N/2^(n+2) impair
=> 5^n + N/2^(n+2) pair
=> 4x10^n/2^(n+2) + N/2^(n+2) pair
=> [4x10^n+N] / 2^(n+2) pair
=> 4x10^n+N divisible par 2^(n+3)

On a donc trouvé un nombre [8x10^n+N ou 4x10^n+N selon le cas] composé de n+1 chiffres 4 et 8 et divisible par 2^(n+3).

Je n’oublie pas d’amorcer cette récurrence: 8 est divisible par 2^3.
CQFD

nodgim · #19

@ Scarta : beau record !

@ Scrablor : très originale démonstration, bravo ! Tu pourrais encore raccourcir ta démo en supprimant la liste, mais je comprends que tu expliques ton raisonnement.

nodgim · #20

@ Francky : Et encore une belle démo bien propre, bravo !

papiauche · #21

Just for fun avec Wolfram alpha

444844444848488448=2^23*3*17676530077

Je n'ai pas trouvé de majorant, je conjecture qu'on peut trouver aussi grand qu'on veut.

Je lirai les démos avec plaisir.

nodgim · #22

Le temps est passé, j'ajoute ma démonstration à celles déja données.

Merci pour vos efforts et votre participation.

________________________________________________________

Pour tout n > 0 , il existe ( n , >= n ), c'est à dire : (nombre à n chiffres , ce même nombre divisible au moins n fois par 2) composé uniquement avec des 1 et des 2.

Liminaire

- 10 ^ n est divisible n fois par 2 , et 2 * 10 ^ n est divisible (n+1) fois par 2.

- Ajouter 1 ou 2 en tête d'un nombre de n chiffres, c'est lui ajouter 10 ^ n ou 2 * 10 ^ n.

- La somme des nombres i * 2 ^ n + j * 2 ^ n , i j impairs, est divisible par 2 au moins (n+1) fois.
car i * 2 ^ n + j * 2 ^ n = 2 ^ n ( i + j ), et ( i + j ) est pair

- La somme i * 2 ^ n + j * 2 ^ ( n + d ), avec n et d > 0, i j impair, est divisible seulement n fois par 2.

Démonstration par récurrence

2 = ( 1, >= 1 ) c'est à dire nombre à 1 chiffre divisible au moins une fois par 2.

Donc vrai pour n = 1

Soit un nombre (n, >= n ) :
Si (n, n) : on ajoute en tête du nombre 1, il devient (n+1, >= n+1 )
Si (n, > n ) : on ajoute en tête du nombre 2, il devient ( n + 1, >= n+1 )

Donc ( n, >= n ) implique ( n+1, >= n+1)

Pour un nombre composé seulement des chiffres 4 et 8, on obtient alors (n, >= n + 2)

On peut construire, avec les seuls chiffres 4 et 8, un nombre divisible par 2 autant de fois qu'on veut.

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

#1 - 01-01-2017 09:29:42

Un nombre très pir...

#0 Pub

#2 - 01-01-2017 13:05:18

un nimbre très pair...

#3 - 01-01-2017 14:34:10

un nombre ttès pair...

#4 - 01-01-2017 17:20:13

yn nombre très pair...

#5 - 01-01-2017 18:20:57

Un nombre trè pair...

#6 - 02-01-2017 01:20:41

Un nombre très pair....

#7 - 02-01-2017 07:29:59

Un nombe très pair...

#8 - 02-01-2017 11:38:53

Un nombre tèrs pair...

#9 - 02-01-2017 11:54:08

Un nombre très pair....

#10 - 02-01-2017 12:45:41

Un ombre très pair...

#11 - 02-01-2017 13:24:35

n nombre très pair...

#12 - 02-01-2017 13:40:11

un nombte très pair...

#13 - 02-01-2017 14:08:01

Unn nombre très pair...

Code:

#14 - 02-01-2017 14:10:11

UUn nombre très pair...

#15 - 02-01-2017 17:04:06

Un nombre très ppair...

#16 - 03-01-2017 09:47:53

Un nombre très apir...

Code:

#17 - 03-01-2017 10:53:53

Un nombre très piar...

#18 - 03-01-2017 11:46:06

Un nnombre très pair...

#19 - 03-01-2017 11:55:04

Un nombr très pair...

#20 - 03-01-2017 12:00:07

Un onmbre très pair...

#21 - 03-01-2017 18:51:53

un nombre yrès pair...

#22 - 04-01-2017 12:15:46

Un nombre ttrès pair...

Réponse rapide

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums