Enigme Chiffres dans le désordre @ Prise2Tete

aunryz · #1

Bon jour
et
bonne année

Il s'agirait de trouver des nombres dont l'écriture
en base 4 est abbcda
en base 5 est badbc
en base 6 est abcda

(a, b, c et d étant des chiffres différents)
...

(jamais) beau ne nuit

enigmatus · #2

Bonjour,
a=1, b=3, c=2, d=0
133201(4) = 31032(5) = 13201(6) = 2017(10)

aunryz · #3

un résultat pour enigmatus (hip hip ...)²

(reste tout de même à donner une démarche et prouver l'éventuelle unicité)

enigmatus · #4

aunryz a écrit:
(reste tout de même à donner une démarche et prouver l'éventuelle unicité)

Méthode "bourrin", en python :

Code:

def n(k,digit):
   r=digit[0]
   for i in range(1,len(digit)): r=r*k+digit[i]
   return r

for a in range(1,4):
   for b in range(1,4):
      for c in range(4):
         for d in range(4):
            n4=n(4,(a,b,b,c,d,a))
            n5=n(5,(b,a,d,b,c))
            if n5!=n4: continue
            n6=n(6,(a,b,c,d,a))
            if n6!=n4: continue
            print("a=%d, b=%d, c=%d, d=%d"%(a,b,c,d))
            print("%d%d%d%d%d%d(4) = %d%d%d%d%d(5) = %d%d%d%d%d(6) = %d(10)"
                 %(a,b,b,c,d,a,b,a,d,b,c,a,b,c,d,a,n4))

nodgim · #5

Une seule solution avec (a,b,c,d) = (1,3,2,0) qui forme 2017 en base 10.

L'égalité entre base 4 et base 6 donne :
52 b = d + 10 c + 136 a avec 0 <= a,b,c,d <= 3.

C'est vite fait de vérifier que ça peut marcher éventuellement seulement pour a= 0 ou 1.

scarta · #6

Ecriture en base 4 ==> a,b,c,d < 4
Tous différents ==> {a,b,c,d} = [0..3]
Ecriture en base 4 ==> a != 0
Ecriture en base 5 ==> c != 0
Ecritures en bases 5 et 6 ==> a < b

Partant de là, d = 0.
Si le nombre est pair : a = 2 ==> b = 3 ==> c = 1. Ca ne colle pas.

Donc a = 1 (pas 3 puisque a < b).
Si b=2, alors c = 3 ne marche pas.

Reste a=1, b=3, c=2 et d=0, résultat: 2017.

gwen27 · #7

Sur les 12 nombres possibles, un seul fonctionne : 2017 (comme par hasard )

En base 4 : 0 1 2 3 , 0 ne pouvant être attribué à A et B

122301
122031
133201
133021
233102
233012
211302
211032
311203
311023
322103
322013

En base 5 :

23323
23202
31032
30433
44101
44024
34133
34012
102202
102103
104411
104334

ne laisse déjà plus qu'une solution possible.

133201 , 31032 et 13201

Franky1103 · #8

L'unique solution est le nombre 2017 (écrit en base 10).

On a trois équations pour cinq inconnues entières (N; a; b; c et d): J'exprime N (et
aussi c et d) en fonction de a et b. Arithmétiquement, on aurait trois solutions (a=1;
a=2 et a=3), mais les deux dernières génèrent des chiffres pour b; c et d supérieurs
à la base moins un, ce qui n'est bien sûr pas admis.

L00ping007 · #9

J'ai écrit 3 équations à 5 inconnues : a,b,c,d et N le nombre, grâce aux 3 relations en base 4,5,6 déterminant le nombre N

N = 1025a + 320b + 16c + 4d
N = 125a + 630b + c + 25d
N = 1297a + 216b + 36c + 6d

...

Je me ramène à 2 équations à 4 inconnues a,b,c,d
900a - 310b + 15c - 21d = 0
136a - 52b + 10c + d = 0

...

Puis 1 équation à 3 inconnues b',c',d
626a - 701b' + 75c' = 0
où c=2c' et b=3b'

...

J'en tire a = b' modulo 5
Plusieurs cas possibles, selon la valeur de b' qui vaut 0,1,2 ou 3.

...

Et au final les seules solutions viables sont :

a=1 b=3 c=2 d=0
a=2 b=6 c=4 d=0 mais a,b,c,d sont forcément inférieurs ou égaux à 3 car issus d'une écriture en base 4
a=3 b=9 c=6 d=0 mais a,b,c,d sont forcément inférieurs ou égaux à 3 car issus d'une écriture en base 4

Ce qui donne le seul nombre possibles 2017, avec a=1 b=3 c=2 d=0

Bonne année !

aunryz · #10

Bonsoir

Rien de plus à ajouter
le fait que l'écriture soit donnée en base 4
élimine tout autre chiffre que le 0,1,2 et 3

a et b ne pouvant être 0

les écritures en base 4 et 6 (très similaires l'une à 6 chiffres l'autre à 5)
donnent de suite a = 1
ce qui restreint immédiatement la recherche.
(les suites possibles ont été données : équation, ou choix dans les 6 solutions possibles

la diversité des propositions
de enigmatus, nodgim, scarta, gwen27, Franky1103 et L00ping007 (merci à vous)
est réjouissante.

et bon 2017 à tous

---------------
J'ai encore bourdé
pensant que le temps de l'énigme était passé.

bonne journée, week end, semaine, mois
et année 2017 à tous.

Syagrius · #11

Une autre variante de solution donnée hier par MP car je ne savais pas comment la cacher :

en base 6, le terme de plus haute valuation est a*1296
en base 5, le terme de plus haute valuation est b*625

comme 1296>2*625, il vient que b est au moins égal à 2*a

a=1 est donc la seule solution possible car b<4 pour l'écriture en base 4

b vaut donc 2 ou 3
si b=2, comme les deux termes prépondérants en base 5 sont fixés, on est à 1395 + quelques multiples de 25 et de 1, or la base 6 est au moins à 1296 + 3*216 = 1944

donc b=3

il reste alors à attribuer 0 et 2 entre c et d
vu le contexte de la question et le total partiel en base 5 de 2015, il n'est pas difficile d'attribuer d=0 et c=2 (l'attribution inverse donne des résultats différents entre les différentes bases) pour trouver 2017 (base 10) en nombre caché

aunryz · #12

Encore une réponse différente
avec une approche très déductive
(et économe)
de
Syagrius

Bonne journée

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#1 - 04-01-2017 00:13:35

Chifffres dans le désordre

#0 Pub

#2 - 04-01-2017 07:15:56

Chiffres dans le édsordre

#3 - 04-01-2017 07:25:25

Chiffres dans le désorrde

#4 - 04-01-2017 07:51:40

chiffres dans le déqordre

aunryz a écrit:

Code:

#5 - 04-01-2017 08:34:38

chiffres dans le déqordre

#6 - 04-01-2017 11:03:08

chifftes dans le désordre

#7 - 04-01-2017 13:03:51

Chiffres daans le désordre

#8 - 04-01-2017 14:05:58

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#9 - 04-01-2017 16:42:10

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#10 - 04-01-2017 20:49:06

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#12 - 07-01-2017 13:56:05

Chiffres dans le désorrdre

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