Enigme Petite suite sympa @ Prise2Tete

portugal · #1

Bonjour à tous,

Soit f est une fonction derivable sur [a b]

* on suppose f continuement dérivable.

Un = racine(n) * [Intégrale de a à b ] {f(x)sin(nx)dx }

Que peux on dire de la convergence de Un ?

* Que se passe il si la continuité de la dérivée n'est pas réalisée ?

Désolé ca fait un peu exercice de math mais je trouve la solution tellement jolie...

nodgim · #2

J'assimilerais bien l'aire, pour n grand, à quelque chose comme f(b)*Pi / rac (n).
Donc, une convergence vers zéro.

portugal · #3

@nodgim : c'est clairement la bonne intuition mais peux tu la justifier un peu ? Je ne vois pas trop comment apparaissent les elementsde ta formule. Il existe un demo que je pense rigoureuse et qui tient en un argument et un micro-calcul

L00ping007 · #4

Un converge vers 0 !
On peut montrer ça grâce à une intégration par parties : on intègre sin(nx) et on dérive f(x). Cela fait sortir un facteur 1/n qui permet de montrer que le tout converge vers 0

Ebichu · #5

Intégration par parties :
[TeX]U_n = \sqrt{n} \left[\frac{-\cos(nx)f(x)}{n}\right]_a^b + \sqrt{n} \int_a^b \frac{\cos(nx)f'(x)}{n}dx[/TeX]
Comme f et f' sont continues sur un intervalle fermé, elles sont bornées : par exemple |f|<M et |f'|<M'.

Donc le premier terme est majoré par [latex]\frac{2M}{\sqrt{n}}[/latex] et le deuxième par [latex]\frac{M'(b-a)}{\sqrt{n}}[/latex] et [latex](U_n)[/latex] converge vers 0.

PS : ma solution nécessite tout de même une dérivée continue... ta méthode en a-t-elle besoin ?

portugal · #6

Oui looping et ebichu. C'etait ma demonstration.

et ebichu pointe du doigt le problème de la continuité de la dérivée à laquelle j'avais pensé mais que je n'avais pas approfondi ce qui est un tord. On va dire que le problème suppose cette continuité mais je serais intéressé de voir si il existe des contre-exemple dans le cas ou cette continuité n'est pas vérifiée.

caduk · #7

Bonjour, par IPP:
Un = -racine(n)/n [ [f(x)cos(nx)] + int(
[TeX]u_n = -\dfrac{\sqrt{n}}{n}[[f(x)cos(nx)]_a^b + \int_a^b f'(x)cos(nx)dx][/TeX]
En utilisant le fait que cos est compris entre -1 et 1, cette intégrale tend vers 0
Le résultat est toujours valable si f' est continue par morceaux. Si f est continue par morceaux, ça marche aussi, on a un nombre fini de crochets, et l'encadrement fonctionnera toujours.
Reste à voir le cas ou la dérivée est discontinue en un nombre infini de points...

portugal · #8

Dans l'idée c'est évidemment okcaduk.

Ca ne me semble pas 100% evident dans le cas ou f' n'est pas bornée ?

Par ailleurs,il serait intéressant de voir si on arrive a trouver un contre-exemple dans le cas que tu cites...

gwen27 · #9

La question correcte aurait été : Puis-je me permettre d'en faire un problème ailleurs, avant de dire "Je l'ai fait , ça ne te dérange pas ? , parce que de toute façon , tu ne peux rien y faire, c'est fait "

portugal · #10

@gwen27 : ca s'adresse a moi le commentaire ?

gwen27 · #11

non, je parle dans le vide...

Klimrod · #12

N'était-ce pas pour un certain Dattier, qui a supprimé tous ses messages (et probablement qu'on connaissait sous un autre pseudo autrefois) ?

gwen27 · #13

Un truc du genre... En tout cas, il ressemble comme deux gouttes d'eau à quelqu'un avec qui je m'étais déjà un peu fâché.

portugal · #14

Vous êtes trop cryptiques pour moi... même si c'est probablement dans l’esprit du site...

Pour conclure, je ne suis pas le fameux figuier repseudoté, et le problème venait de moi, même si vu comme il est simple il existait surement quelque part.

Klimrod · #15

Non, non !
Gwen s'adressait à un certain Monsieur Dattier, qui a effacé tous ses messages, ce qui rend le fil de la discussion décousu...

gwen27 · #16

Bon, je vais être clair : tu as dû louper des réponses sur ce topic.

Dattier (aux abonnés absents et ayant supprimé tous ses messages, si ce n'est pas la modération ) a dit :

Coucou ! Elle est chouette ton énigme ! Je viens de la poster sur un autre site en mon nom, du coup ... Ca ne te dérange pas ?

Je LUI ai répondu :

La question correcte aurait été : Puis-je me permettre d'en faire un problème ailleurs, avant de dire "Je l'ai fait , ça ne te dérange pas ? , parce que de toute façon , tu ne peux rien y faire, c'est fait "

En gros, j'ai balancé une pique à un indésirable qui a dû choisir d'aller voir ailleurs. Rien contre toi dans cette histoire. (A part le fait que je n'ai toujours pas compris ne serait-ce que l'énoncé de l'énigme )

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#1 - 29-03-2017 11:18:21

prtite suite sympa

#0 Pub

#2 - 29-03-2017 12:06:14

Petit suite sympa

#3 - 29-03-2017 12:11:46

petite suite qympa

#4 - 29-03-2017 12:56:37

Petite siute sympa

#5 - 29-03-2017 13:03:15

Pteite suite sympa

#6 - 29-03-2017 14:23:48

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#7 - 29-03-2017 16:42:27

Petite suite ympa

#8 - 29-03-2017 17:09:55

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#10 - 10-04-2017 15:21:06

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#11 - 10-04-2017 18:59:04

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#12 - 11-04-2017 13:26:00

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#13 - 11-04-2017 13:59:12

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#14 - 18-04-2017 17:29:03

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#15 - 18-04-2017 21:12:04

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#16 - 18-04-2017 21:22:03

Petite uite sympa

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