C'est ça Gwen , comment justifies-tu cet appariement ?

Vasimolo

Pour les arêtes c'est clair mais je ne vois pas comment tu étends ça à l'ensemble du cube , la récurrence fonctionne assez mal avec un cube quelque peu boutonneux .

Vasimolo

D'accord , la récurrence démarre après le remplissage d'une face

On peut faire plus simple avec une petite astuce .

Vasimolo

Il y a 19*19*3=1083 axes. Il y a 2000 caramels, et chaque caramel ne bloque qu'un axe ; or comme les caramels sur un même axe sont en nombre pair, il y a au plus 1000 axes recouverts, et donc on peut traverser le grand cube de 83 façons différentes au moins.

La difficulté est de prouver que les caramels sur un même axe sont en nombre pair. Or je vois ça par récurrence, comme gwen27 si je comprends bien.

Découpons notre grand cube en minces colonnes verticales de 1x1x20, et prenons une de ces colonnes. Chaque caramel vertical (deux directions différentes) qui recouvre cette colonne en recouvre 2 cubes unité 1x1x1. Donc il y a un nombre pair de caramels horizontaux qui recouvrent cette colonne, chacun recouvrant un unique cube unité. Le problème est que ces caramels horizontaux ne sont a priori pas appariés en caramels de même axe ; or c'est bien le cas.

Pour le prouver, on considère une colonne verticale placée dans un coin du cube ; les caramels horizontaux qui la recouvrent sont tous alignés sur un même axe, les caramels sur cet axe sont donc en nombre pair. Si je considère une colonne juste à côté, les caramels horizontaux qui la recouvrent sont les mêmes caramels que ci-dessus (donc en nombre pair), ou ceux alignés sur un axe adjacent, qui sont donc aussi en nombre pair. De proche en proche, on montre cette propriété pour chaque axe vertical.

Il suffit enfin de faire pareil pour les deux autres directions.

Ha oui, je n'avais pas vu l'indice.

Effectivement, le caramel vert serait le seul à contribuer pour 1 cube unité dans la colonne jaune de devant, les autres caramels contribuant pour 2. Ce qui contredit que le nombre de cubes unité dans la colonne jaune soit pair. Joli

Pour résumer

Il y a en tout 19 X 19 X 3 = 1083 lignes susceptibles de traverser le cube sans dégâts  . Supposons que chacune d’entre elles soit empêchée par un caramel mal placé .



On découpe virtuellement le cube comme le suggère l’illustration , la ligne marron étant gênée par le caramel vert .

Chacun des pavés bleus ou jaunes contient un nombre pair de cubes unités ( 1 X 1 X 1 ) . Un caramel percé par la ligne marron envoie un cube unité dans chaque zone , tous les autres en envoient un nombre pair ( 0 , 2 ou 4 ) . Pour une raison évidente de parité , la ligne marron va nécessairement traverser un deuxième caramel . D’autre part un caramel donné ne peut pas bloquer plus d’une ligne marron . Pour chacune des 1083 lignes il faut donc au moins deux caramels pour interdire l’entreprise mais 1083 X 2 = 2166 est supérieur aux 2000 caramels disponibles . Pour conclure le pâtissier pourra toujours réaliser son exploit .

Un grand merci aux participants

Vasimolo