Salut Vasimolo,

oui, c'est possible (et c'est joli).

Voici les coordonnées de 8 sommets qui fonctionnent :
A(0 0 10)
B(20V5 0 20)
C(18V5 4V105 40)
D(-2V5 4V105 30)
E(-4V5 -2V105 50)
F(16V5 -2V105 60)
G(14V5 2V105 80)
H(-6V5 2V105 70)

J'ai trouvé ça analytiquement : après avoir posé A(0 0 10), on pose B(x 0 20).

L'angle droit en BAD, la relation AB=AD et zD=30 permettent d'exprimer xD et yD en fonction de x.

On fait pareil avec E, et on tombe sur une équation bicarrée qui permet de trouver x=20V5. Tout le reste s'en déduit.

Tiens ! Ma réponse de ce matin n'est pas passée....

Je disais que là j'assurais le service minimum....



La réponse est oui, et ça se montre sans calcul.

Tout d'abord, pas de  changement si au lieu de 10, 20,....80, on prend 0,1,2,...7. C'est à dire si le point le plus bas touche le sol plan et qu'on divise les valeurs par 10.

On regarde seulement la base du cube, le carré du bas. On suppose le sommet diagonalement opposé au sommet le plus bas à la hauteur 3, supposition justifiée à partir d'une dimension minimale du coté du cube. Si les 2 sommets de la seconde diagonale sont à la même hauteur, alors ils sont à 1,5. Il est évident qu'en pivotant ce carré selon l'axe 1ère diagonale, les 2 sommets de la 2ème diagonale vont voir leur hauteur respective, du fait de la symétrie, varier de la même valeur, l'un vers le haut, l'autre vers le bas. Aussi, on ne peut manquer d'obtenir 1 pour l'un et 2 pour l'autre (1,5 + - 0.5). 

Voila donc déjà les valeurs 1,2 et 3 atteintes. Celles ci peuvent être atteintes pour n'importe quelle longueur de coté du cube, à condition bien sûr d'un minimum. Pour un coté de longueur 3, ça marche déjà, avec la 1ère diagonale de la base inclinée à 45°. Bien entendu, pour cette valeur, le sommet le plus bas du carré du haut est inférieur à la hauteur 4. Or, on a dit que, au dela de ce minimum, on savait obtenir 1,2, et 3 pour les 3 sommets les plus bas. On peut donc obtenir toutes les valeurs continues de la hauteur du sommet le plus bas du carré du haut à partir d'une valeur inférieure à 3. On peut donc obtenir 4. Et ensuite, les 2 carrés étant inclinés de la même façon, on obtient immédiatement les valeurs 5,6 et 7 pour les 3 autres sommets.

@Nodgim : oui , ça marche , tu as essayé de trouver la valeur de l'arête ?
@Bastidol : c'est un bon début mais avec c quelconque les quatre sommets restants risquent de ne pas avoir la bonne altitude .

Vasimolo

Dans le repère orthonormé (A,B,D,E), on construit le cube ABCDEFGH.
Dans ce repère, un plan P quelconque peut avoir une équation de la forme ax+by+cz+d=0, avec a²+b²+c²=1 et d>=0.
Soit d(M,P) la distance d'un point M(xM,yM,zM) à P, on a d(M,P)=|axM+byM+czM+d|/rac(a²+b²+c²)=|axM+byM+czM+d|.

En prenant a=d, b=2d et c=4d, on a :
d(A,P)=|d|=d
d(B,P)=|a+d|=2d
d(C,P)=|a+b+d|=4d
d(D,P)=|a+d|=3d
d(E,P)=|a+c|=5d
d(F,P)=|a+c+d|=6d
d(G,P)=|a+b+c+d|=8d
et d(H,P)=|a+c+d|=7d

On a dans ce cas a²+b²+c²=d²+(2d)²+(4d)²=21d², donc d=1/rac(21) en unité de longueur du repère, c'est-à-dire la longueur L de l'arête du cube.
On veut d=10cm, soit L/rac(21)=10cm. D'où L=10rac(21) ~ 45,8cm

Donc en prenant un cube d'arête L=10rac(21) et en l'orientant "comme il faut", on peut avoir les 8 sommets à des altitudes régulièrement espacées de 10 à 80cm.
Merci pour ce problème sympa.

Le coté du cube vaut 10V21 si je ne me suis pas trompé. Calcul relativement simple si on a posé les 3 bonnes équations de départ....

Bonjour,
Ton pâtissier a raison.

En posant :
sq5 = sqrt(5); sq21=sqrt(21)

Voici par exemple les coordonnées des sommets d'un cube qui répond au problème, de côté 10*sq21 = 45.83 cm.

         X            Y    Z
         0            0   10
    20*sq5            0   20
    -2*sq5   4*sq5*sq21   30
    18*sq5   4*sq5*sq21   40
    -4*sq5  -2*sq5*sq21   50
    16*sq5  -2*sq5*sq21   60
    -6*sq5   2*sq5*sq21   70
    14*sq5   2*sq5*sq21   80

         X          Y          Z
  0.000000   0.000000  10.000000
 44.721360   0.000000  20.000000
 -4.472136  40.987803  30.000000
 40.249224  40.987803  40.000000
 -8.944272 -20.493902  50.000000
 35.777088 -20.493902  60.000000
-13.416408  20.493902  70.000000
 31.304952  20.493902  80.000000

Bonjour,

Oui en effet.
arête = 40/cos(a) = 20 /sin(a)  =  44,7 Cm
@+

Bonjour Vasimolo,

Je vois que me dessins ne font pas impression .... du coup sur la même idée , je me lance dans le calcul du coté du cube, quitte à être privé de gâteau , autant prendre des risques :-)

pour un cube de coté 1:

Je reprends ma vue de dessus et dessine l'axe Delta de rotation



Et j'exprime qu’après rotation autour de Delta  la hauteur du  point C doit arriver au trois quart de la hauteur du point E



Soit L* sin(a) = 3/4 * cos(a)
avec L = 3/racine(5)


soit tan(a) =racine(5) /4
et donc H = cos(a) = 4 /racine(21)


Dans le problème cette hauteur vaut 40 cm ,
le coté du cube est donc 10 Racine(21)

Merci de ta relecture, Vasimolo, je retourne à mes fourneaux donc ....

On peut trouver des cubes à arête entière dont toutes les hauteurs sont entières.

Exemple : un cube d'arête 18 avec les hauteurs 0, 2, 8, 10 , 16, 18, 24, 26.

Un grand merci à tous les participants

Le jour je ne m'émerveillerai plus devant ces petits problèmes , je laisserai tomber les maths et tout le reste .

Personnellement j'étais passé par les coordonnées , ce n'est pas très élégant mais très efficace .

A bientôt pour un prochain gâteau

Vasimolo