Erratum sur les formules, écrites un peu vite. Qui ne change rien au raisonnement et au résultat.

pour les dizaines, remplacer p²=(x²+d).(10^4)+20.e.d+d² par
p²=[10^2.x²+d²+2.x.(10.d+e)].10^2 +20.e.d+e²

Bref un entier compliqué fois 10^2 devant. puis fois 10^3 pour les centaines, 10^4 pour les milliers,...

Cherchons d'abord modulo 100:
[TeX]x^2 \equiv y^2 \left[100\right] \iff (x-y)(x+y) \equiv 0 \left[100\right][/TeX]
Comme (x+y) + (x-y) = 2x, (x+y) et (x-y) sont de même parité. Donc si (x+y) est impair, (x+y)(x-y) est impair.
Il faut donc que (x+y) soit pair.
On peut également déduire de cette relation que si (x+y) et (x-y) ont un facteur impair en commun, alors  x et y ont tout les deux ce facteur en commun

Listons les différentes possibilités de répartir les facteurs premiers 2 et 5:
(il peut éventuellement y avoir des facteurs 2 et 5 supplémentaires.)
(x+y) | (x-y)
2*5^2 | 2
2*5 | 2*5
2 | 1*5^2

Dans le premier cas, x+y est divisible par 50 et x-y divisible par 2
Quel que soit x+y divisible par 50, (x-y) sera divisible par 2 par parité.
Par exemple, 7^2 = 49 et 43^2 = 1849 finissent tout les deux par 89

Le dernier cas est pareil, sauf que cette fois ci, c'est x-y
Par exemple, 7^2 = 49 et 57^2 = 3249

Dans le deuxième cas, il faut déjà que x et y soient divisible par 5 (car 5 est facteur commun de x+y et x-y)
De plus, x et y doivent être de même parité, car x+y est pair
Dans ce cas, (x+y) = 5k+5k' (avec k et k' de même parité)
donc (x+y) = 5(k+k') est divisible par 10 (car k+k' est pair car même parité)
de même, (x+y) = 5(k-k') est divisible par 10.
Le produit est donc divisible par 100.
Donc x et y divisible par 5 et de même parité est une condition nécessaire pour la deuxième répartition des facteurs.
Par exemple, 15^2 = 125, 25^2 = 125 ou 20^2 = 400 et 30^2 = 900

En récapitulatif, x^2 et y^2 finissent par les deux même chiffres si:
x+y est divible par 50
ou
x-y est divisible par 50
Ces deux conditions peuvent se résumer par [latex]x\equiv \pm y \left[50\right][/latex]
ou 
x et y sont divisibles par 5 et de même parité.

Passons maintenant à un cas plus général: modulo 10^n.
On à cette fois ci n facteurs 2 et n facteurs 5 à répartir.

Dans le cas d'une répartition:
2^(n-1)*5^n | 2
Pour raison de parité, tout les x,y vérifiant x+y divisible par 2^(n-1)*5^n marcheront
de même pour la répartition 2 | 2^(n-1)*5^n, tout les x,y vérifiant x-y divisible par 2^(n-1)*5^n
Par exemple, 7^2 = 49, 49993^2 = 2.499300049 et 50007^2 = 2500700049 terminent tous par 00049

Dans le cas d'une répartition:
2^(n-2)*5^n | 2^2
Il faut que x-y soit divisible par 4.
Par exemple, 6^2 = 36, 24994^2 = 624700036 et 25006^2 = 625300036
x-y = x+y - 2y = 2^(n-2)*5^n*k - 2y (k impair, sinon on se ramène au cas au dessus)
Il faut donc que 2y (et par conséquent aussi x) soit congru à 2^(n-2)*5^n modulo 4.
Ainsi, si x+y est divisible par 2^(n-2)*5^n mais pas par 2^(n-1)*5^n, on a deux cas:
Soit 2^(n-2)*5^n n'est pas divisible par 4 (donc n = 3, donc on raisonne modulo 1000), alors il faut que y soit impair (et donc x aussi)
Soit 2^(n-2)*5^n est divisible par 4 (donc n > 3), alors il faut que y soit pair (et donc x aussi)
Ainsi, 3^2 = 9 et 253^2 = 64009 finissent tout deux par 009, mais ça ne marche pas pour 4^2 = 16 et 254^2 = 64516.
En revanche 4^2 = 16 et 2504^2 = 6270016 finissent tout deux par 0016, mais ça ne marche pas pour 3^2 = 9 et 2503^2 = 6265009.

C'est la même chose avec en échangeant x+y et x-y

Plus généralement, dans le cas d'une répartition:
2^(n-r)*5^n | 2^r
Il faut que x-y soit divisible par 2^r
x-y = 2^(n-r)*5^n*k - 2y (k impair, sinon, on prend un r plus petit)
si n - r > 0 et r > 0, il faut donc que 2^(n-r-1)*5^n*k - y soit divisible par 2^(r-1)
Si r - 1 = 0, soit r = 1, c'est toujours vrai.
Si n-r-1 >= r-1, alors 2^(n-r-1)*5^n*k est divisible par 2^(r-1). Il faut donc que y soit divisible par 2^(r-1).
Si n-r-1 < r - 1, si n-r <= r, alors il faut que y soit congru à 2^(n-r-1)*5^n*k modulo 2^r

Dans le cas où on inverse x-y et x+y, il faut que y soit congru à -2^(n-r-1)*5^n*k modulo 2^(r-1)

Je ne traite pas le cas où il y a un facteur 5 dans chaque cas.
Comme on l'a vu, ça implique que x soit divisible par 5, ce qui n'est pas le cas de
34567.

Soit x = 34567
Ici, on cherche à calculer modulo 100000 donc n = 5.
Le premier cas est évidemment si r = 1, car il y aura toujours une solution.
Ainsi, tout les entiers de la forme 50000k +- 34567 seront solutions.
Si r est différent de 1, il faut que y soit congru à 2^(n-r-1)*5^n*k (k impair) modulo 2^(r-1)
Or y est impair. Donc  n-r-1 = 0, soit r = n-1 = 4

5^5 = 3125 est congru à 5 modulo 2^3 = 8
donc y doit être congru à -5 = 3 modulo 8

3125*3 est congru à 3*5 = 15 = -1 modulo 8
donc y doit être congru à 1 modulo 8

3125*5 est congru à 2*(-1)-5 = -7 = 1 modulo 8
donc y doit être congru à -1 modulo 8

3125*7 est congru à 2*(-1)+5 = 3 modulo 8
donc y doit être congru à -3 modulo 8

3125*9 => -3
y => 3

3125*11 => -1
y => 1

3125*13 => 1
y  => -1

3125*15 => -3
y => 3

dans le cas ou (x-y) est divisible par 6250:
34567 est congru à 7 = -1 modulo 16, donc les y recherchés doivent être de la forme 3125*(16k+5)+34567  ou 3125*(16k+13)+34567 (condition nécessaire)
On a donc y = 2^(n-r)*5^n*k + x
Les y solutions sont donc de la forme
6250*(16k+5)+34567
6250*(16k+13)+34567

dans le cas ou (x+y) est divisible par 6250:
Les y recherché doivent être de la forme:
6250*(16k+3)-34567
6250*(16k+11)-34567

Par exemple,
(6250*3 - 34567) ^2 = 250177489
(6250*5 + 34567)^2 = 4331877489
(6250*11 - 34567)^2 = 1168477489
(6250*13 + 34567)^2 = 13413577489
(6250*(16*2+3) -34567)^2 = 33923377489
(50000-34567)^2 = 238177489
(50000+34567)^2 = 7151577489

Pour récapituler, les y sont de la forme:
50000k +- 34567
6250*(16k+5)+34567
6250*(16k+13)+34567
6250*(16k+3)-34567
6250*(16k+11)-34567

Salut nodgim,

j'en trouve 8. Je procède avec un arbre :

* si le carré se termine par un 9, alors le dernier chiffre du nombre de départ est un 3 ou un 7. Au premier étage de mon arbre, il y a donc deux sommets, 3 et 7.
* au 2e étage, si le carré se termine par 89, alors les seules possibilités sont 33, 83 ; 17, 67. On remarque, en regardant deux branches issues d'un même sommet, qu'elles diffèrent de 50. Plus généralement, à partir du 2e étage, les sommets frères ont toujours leur chiffre de gauche qui diffère de 5.
* à partir du 3e étage, parmi deux frères, il y en aura toujours un des deux qui n'aura pas de fils, et un des deux qui aura deux fils. Par exemple, les fils de 33 sont 433 et 933. 433 a deux fils et 933 n'en a aucun.
* par conséquence, à partir du 4e étage, tous les étages comportent 8 sommets.

Finalement les solutions sont 15433 65433 34189 84189 15817 65817 84567 34567.

J'ai clarifié un peu mon raisonnement, et corrigé certain trucs car je crois que j'avais un peu bidouillé mon raisonnement pour tomber juste...

On a A² = 34567 finit par 77489
B² finit par 77489.

B² - A² = 0 [10^5]
(B-A) (B+A) = k * 2^5 * 5^5.

A étant fixé, il est évident que les 5 puissances de 5 sont soit dans B-A, soit dans B+A, pas de distribution autre possible.

Comme B impair, on a B = k * 6250 + - A.

et (B-A) * (B+A) = 6250k * (6250k +-A)

Pour les puissances de 2, comme B-A et B+A pairs d'office, il faut chercher 3 autres puissances de 2, soit dans B-A,  soit B+A, là encore impossible de distribuer.

Donc c'est soit k = 8 ou k = 3 [8] (car 3125 =5[8] et 34567 = 7 [8] )

Les solutions sont donc :

50 000 +- 34567 [10^5] soit : 34567, 84567, 15433, 65433 [10^5]
50 000 +- 15817 [10^5] soit : 15817, 65817, 34183, 84183 [10^5]

Il est à remarquer que, quel que soit le nombre n > 2 de chiffres d'un nombre qui se termine par 1,3,7 ou 9, il y a invariablement 7 autres carrés modulo [10^n] qui ont la même fin de n chiffres que le carré de ce nombre.

On ne retrouve pas cette règle avec les nombres pairs.

Merci @ tous pour votre participation.

+1