Enigme Raccourcissements par les diviseurs. @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour @ tous.

On dit d'un nombre qu'il est raccourcissable n fois par ses diviseurs, si on peut répéter n fois cette opération : le nombre est divisible par celui constitué de ses k premiers chiffres, on le lui ôte.

Par exemple 111111 est divisible par 11, on lui ôte ce 11, reste 1111.
1111 divisible par 11, on le lui ôte, reste 11.
11 divisible par 11, on le lui ôte reste 0.

111111 est donc raccourcissable 3 fois.

Maintenant il s'agit de trouver un nombre raccourcissable 7 fois, mais avec ces contraintes : Tous les diviseurs pris 2 à 2 ont un nombre distinct de chiffres. De plus, le nombre en question doit être constitué d'au moins 7 chiffres distincts.

Bon amusement

Ebichu · #2

Salut nodgim,

peux-tu laisser un peu plus de temps pour chercher ce problème ? Merci.

Ebichu · #3

Je propose :
144333366666666999...999222...222888...888 avec 16 "9", 32 "2" et 64 "8".

nodgim · #4

@ Ebichu :merci de donner les diviseurs, car c'est très différent de ce que j'ai fait.....

En réalité, j'aurais pu écrire l'énoncé de cette façon : Quels que soient les derniers chiffres d'un nombre........

Ebichu · #5

144333366666666999...999222...222888...888 est divisible par 1
44333366666666999...999222...222888...888 est divisible par 44
333366666666999...999222...222888...888 est divisible par 3333
66666666999...999222...222888...888 est divisible par 66666666
999...999222...222888...888 est divisible par 999...999 (16 fois "9")
222...222888...888 est divisible par 222...222 (32 fois "2")
il reste 888...888 (64 fois "8") divisible par lui-même

nodgim · #6

Bon, je te fais confiance.

Voilà comment on peut faire plus simplement ( à moins que ta construction obéisse également à une règle simple ? )

On part de par exemple 78 = 2 * 39
Puis 3978 = 39 * 102
puis 1023978 = 102 * 10039
puis 100391023978 = 10039 * 100000102

etc.....

avec la liste des nombres ajoutés, c'est plus parlant :

78
39
102
10039
10000102
1000000010039
100000000000010000102
1000000000000000000001000000010039
1000000000000000000000000000000000100000000000010000102

etc....

à partir du 2ème nombre, la taille des nombres est donnée par la suite :

t(k+1) = t(k) + t(k-1)

Ebichu · #7

Ma construction ne peut pas être étendue indéfiniment, mais il est simple de voir qu'elle fonctionne.

144333366666666999...999222...222888...888 est divisible par 1 : évident.

44333366666666999...999222...222888...888 est divisible par 44 : divisible par 11 car c'est 11*4030306060..., et par 4 car finit par 88.

333366666666999...999222...222888...888 est divisible par 3333 : car par 1111 (c'est 1111*30006000...) et par 3 (on fait la somme des chiffres)

66666666999...999222...222888...888 est divisible par 66666666 : car par 2 (finit par 6), par 3 (somme des chiffres) et par 11111111.

999...999222...222888...888 est divisible par 999...999 : car par 111...111 et par 9 (somme des chiffres).

222...222888...888 est divisible par 222...222 : car par 2 (finit par 8) et par 111...111.

888...888 est divisible par lui-même.

nodgim · #8

Joli !

Il a fallu le trouver, celui-là.....

gwen27 · #9

J'en ai un tout petit en partant plus simplement d'un nombre hautement composé (1441440) :
1101021074107401029601441440 est divisible par :
1, 10, 102, 1074, 10740, 102960 et 1441440

On peut aussi dire que 517 * 2 = 1034 ce qui donne 7 chiffres différents et donc :
1 10 100 1000 10000 103400 5170000 fonctionne.
Ce serait même un des plus petits possibles.

nodgim · #10

Pas mal non plus, Gwen !

En plus, c'est extensible aussi long qu'on veut sur ce principe.

gwen27 · #11

Ca veut dire quoi "pas non plus ! " ?

Ebichu · #12

C'est une énigme, il faut trouver le mot qui manque. À mon avis il a trois lettres

gwen27 · #13

Je n'ai rien compris, elle n'est pas claire cette énigme.
Tu veux dire que nodgim a proposé un truc admettant une réponse autre que "donnez le résultat avec 50 chiffres après la virgule" mais qu'il n'a pas mis de case réponse ?

Franchement, je crois que tu rêves, ou alors l'énoncé est très mal fichu.

Ebichu · #14

Non, tu t'éloignes.

A mon avis, il voulait dire "pas mal non plus", et il a oublié le "mal".

Mais tout ceci n'est que supputations, attendons le retour de nodgim pour avoir le fin mot de l'histoire

gwen27 · #15

Ah, OK... Ca me rassure.

nodgim · #16

@ Ebichu est malin, il a deviné le mal du " pas mal non plus" .

@ gwen : on aura du à faire plus court. Brav à toi.

caduk · #17

Je ne compte que 6 chiffres différents dans la dernière proposition de gwen27. Voici ma proposition pour un encore plus petit (sauf erreur, c'est le plus petit):
100000 10000 1000 100 2 34 8500000

nodgim · #18

Super ! mais celui-là est plus petit encore :

100000 10000 1000 100 2 34 6800000.

caduk · #19

Comment je suis passé à côté

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#1 - 18-03-2020 10:17:16

Raccourcssements par les diviseurs.

#0 Pub

#2 - 24-03-2020 01:17:13

Raccourcissements par les ddiviseurs.

#3 - 24-03-2020 10:04:52

Raccourcissements pa les diviseurs.

#4 - 24-03-2020 11:09:38

Raccourcisements par les diviseurs.

#5 - 24-03-2020 12:47:33

Raccourcissements par les dviiseurs.

#6 - 25-03-2020 08:20:03

Raccourcisesments par les diviseurs.

#7 - 25-03-2020 10:11:25

taccourcissements par les diviseurs.

#8 - 25-03-2020 15:32:52

raccourcissements par les diviseues.

#9 - 25-03-2020 17:57:53

RRaccourcissements par les diviseurs.

#10 - 25-03-2020 18:45:44

Raccourcissmeents par les diviseurs.

#11 - 25-03-2020 19:03:25

Raccourissements par les diviseurs.

#12 - 25-03-2020 20:06:31

raccourcissements par les diviszurs.

#13 - 25-03-2020 20:35:52

raccourciqsements par les diviseurs.

#14 - 25-03-2020 21:55:21

Raccourcissements par els diviseurs.

#15 - 25-03-2020 22:01:32

raccourcisqements par les diviseurs.

#16 - 26-03-2020 08:37:03

raccourcissements par les duviseurs.

#17 - 02-04-2020 15:06:37

raccouecissements par les diviseurs.

#18 - 02-04-2020 17:55:38

raccourcissemznts par les diviseurs.

#19 - 02-04-2020 22:58:24

racxourcissements par les diviseurs.

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