Je dirais 301 ou 721.

301 ou 721 pigeons

On cherche donc un nombre congru à 1 modulo 2, modulo 3, etc. jusqu'à modulo 6, et qui soit divisible par 7.

Autrement dit : soit N ce nombre, alors

N = 7 * k1 (k1 entier)
N - 1 = ppcd(2,3,4,5,6) * k2 = 60*k2 (k2 entier naturel)

Donc N-1 peut valoir 300 (car 301 = 7 * 43) ou 300 + 7 * 60 = 720 (car 721 = 7 * 103). La possibilité suivante est 1140 > 1000.

Donc on a 301 ou 721 pigeons.

Réponses : 301 ou 721 pigeons.
Pour 721 pigeons, c'était facile : c'est un nombre divisible par 2, 3, 4, 5, 6     +1
Donc 2x3x4x5x6=720 et ajoutons le pigeon de service pour faire 721.
Pour la réponse des 301 pigeons, je ne connais pas l'explication mathématique qui permet de la trouver.
Bravo à tous.

il possède soit 301 soit 721 pigeons

301 est divisible par 7
301-1 = 300 divisible par 2; 3; 4; 5 et 6

721 est divisible par 7
721-1 = 700 divisible par 2; 3; 4; 5 et 6

Soit N le nombre de pigeons.
Par hypothèse, N - 1 est divisible par 2, 3, 4, 5 et 6.
Il est donc également divisible par ppcm(2,3,4,5,6) = 60.
La liste des nombres possibles de pigeons est donc réduite et se limite à - avec ces seules hypothèses :
{61, 121, 181, 241, 301, 361, 421, 481, 541, 601, 661, 721, 781, 841, 901, 961} (pour 0 <= N <= 1000).
On sait en outre que N est divisible par 7.
Un critère simple de divisibilité par 7 est que la différence entre le nombre des dizaines et le double du chiffre des unités est divisible par 7.
Ici, le chiffre des unités est toujours 1, il faut donc que le nombre des dizaine moins 2 soit multiple de 7.
Ce critère est vérifié pour 301 avec 30 - 2 = 28 = 7*4 et pour 721 avec 72 - 2 = 70 = 7*10.
Tu as donc 301 ou 721 pigeons.

Vérifications :
301 = 150*2 + 1 = 100*3 + 1 = 75*4 + 1 = 60*5 + 1 = 50*6 + 1 = 43*7
721 = 360*2 + 1 = 240*3 + 1 = 180*4 + 1 = 144*5 + 1 = 120*6 + 1 = 103*7

301 ou 721
ce sont les multiples de 7 (N) tels que N-1 est un multiple de 60.

Bravo à tous.
301 et 721 étaient les réponses à attendre.