On divise les groupes en trois groupes de 4.

Première pesée:

En cas d'égalité, la boule cherchée est dans le troisième groupe et les huit premières sont neutres.

Dans ce cas, on effectue une deuxième pesée en en prenant trois (notées 9,10,11) dans le quatrième groupe + une neutre.

Si égalité, c'est la dernière (12), une troisième pesée permettant de savoir si elle est lourde ou légère.
Sinon on pèse 9+10 contre deux neutres.

Si 9+10> 11+N, alors:

Troisième pesée:

si 9+11> N+N c'est 9 et elle est lourde
si 9+11 =N+N c'est 10 et elle est lourde
si 9+11> N+N c'est 11 elle est légère.

même raisonnement si 9+10< 11+N:

Troisième pesée:

si 9+11> N+N c'est 11 et elle est légère
si 9+11 =N+N c'est 10 et elle est légère
si 9+11> N+N c'est 11 elle est lourde.

On a conclu en cas d'égalité de la première mesure.

Dans le cas contraire, la boule cherchée est dans les 8 sur la balance et les 4 autres peuvent servir d'étalon. 

Cas où 1+2+3+4> 5+6+7+8

Deuxième pesée: 1,2,5 contre 3,6,N

Si 1+2+5>3+6+N alors 1 ou 2 plus lourde ou 6 plus légère
Si 1+2+5=3+6+N alors 7 ou 8 plus légère ou 4 plus lourde
Si 1+2+5<3+6+N alors 5 plus lourde ou trois plus légère.

Cas où 1+2+3+4< 5+6+7+8

Deuxième pesée: 1,2,5 contre 3,6,N

Si 1+2+5>3+6+N alors 5 plus lourde ou 3 plus légère
Si 1+2+5=3+6+N alors 7 ou 8 plus lourde ou 4 plus légère
Si 1+2+5<3+6+N alors 1 ou 2 plus légère ou 6 plus lourde.

Pour la troisième pesée:

cas n°1
n léger ou p Lourd

On effectue une pesée n,p contre deux neutres
Si n+p > N+N alors p Lourd
Si n+p < N+N alors n léger

cas n°2
(n ou p) léger ou q Lourd

On effectue une pesée n,q contre N,N
si n+q<N+N alors n léger
si n+q= N+N alors p léger
si n+q>N+N alors q lourd.

cas n°3
(n ou p) lourd ou q léger

On effectue une pesée n,q contre N,N
si n+q<N+N alors q léger
si n+q= N+N alors p lourd
si n+q>N+N alors n lourd.


Ouf!

Edit: j'ai modifié l'erreur de copier-coller (le coller deux fois donnait deux réponses contradictoires!)
Le cadre d'édition est petit pour ce genre de réponse

1) sur les 12 boules :
    j'en pèse 6 : d'un côté 3 et de l'autre 3

-> la balance est à l'équilibre :        la boule X est dans les six boules restantes
--> la balance penche :            la boule X est dans les 6 boules pesées


2 ) j'ai 6 boules dont la boule X
    j'en prends 3
    je les mets d'un côté de la balance, et de l'autre trois boules normales

-> la balance est à l'équilibre :        cas A :la boule X est dans les trois dernières, non peées sur ce coup ci
-> la balance penche :            cas B : suivant si le plateau où se trouve la boule X penche vers le haut ou vers le bas, on détermine que la    boule X est plus légère ou plus lourde


3) il nous reste 3 boules. Suivant le cas (A ou B), nous agirons différemment :
    - cas A : il nous reste 3 boules, mais nous ne savons pas si la boule X est plus lourde ou plus légère... On en compare deux sur la balance, si la balance reste à l'équilibre alors la boule X est celle mise de côté ! Sinon, c'est une des deux que nous venons de comparer, mais laquelle...?

    - cas B : il nous reste 3 boules, et nous savons si la boule X est plus lourde ou plus légère. On en compare deux sur la balance. Si la balance penche, on sait quelle est la boule X, si elle est à l'équilibre, la boule mise de côté est celle que l'on cherche, et on sait déjà si elle est plus lourde ou plus légère !

Voilà, dans 2/3 des cas je sais, mais il me reste 1/3 des cas où j'ai besoin d'une quatrième pesée...

Bonsoir,
vous avez compris que la difficulté n'est pas tant de trouver la boule différente,
mais de dire si elle est plus lourde ou plus légère.
Je vous propose donc une solution afin de vérifier que c'est bien possible.
Il y en a sans doute d'autres...

Appelons les boules par groupe de 4 : abcd ABCD et 1234
N une boule Normale et O la boule cherchée de poids différent.
( \ : penche à gauche ; / : penche à droite ; =^= : équilibre )

1ere pesée : abcd^ABCD :
si =^= alors O fait partie de 1234 ( et abcdABCD=N )

    donc 2nde pesée : abc^123 ( ou NNN^123 ):
    si =^= alors O = 4
        ==> 3ème pesée 4^N pour déterminer si + ou - lourde
    si abc/123 alors O = 1,2ou 3 et O est +lourde
        ==> 3ème pesée 1^2 :
            si =^= alors O = 3+, si 1/2 alors O = 2+, si 1\2 alors O = 1+
    si abc\123 alors O = 1,2ou 3 et O est +légère
        ==> 3ème pesée 1^2 :
            si =^= alors O = 3-, si 1/2 alors O = 1-, si 1\2 alors O = 2-

si abcd/ABCD alors O est une de ces 8 boules et + lourde si à droite ou + légère si à gauche
donc si O est une minuscule, elle sera forcément + légère et + lourde si elle est majuscule.
reste à trouver O... ( on a également 1234=N bien sûr )

2nde pesée : On retire a et A,on inverse b et B, on remplace C par N (ou 1), on garde d et D ( et c )
   
    si équilibre Bcd^bND alors O = A,a ou C
        ==> 3ème pesée : A^C : si =^= alors O = a-
            sinon si A\C alors O = A+ ou si A/C alors O = C+
    si Bcd\bND alors la pesée s'est inversée et O = b ou B
        ==> 3ème pesée : b^N :
            si =^= alors O = B+
            sinon O = b- (b\N n'est plus envisageable)
    si Bcd/bND alors rien n'a changé et O = d,D ou c
        ==> 3ème pesée : c^d :
            si =^= alors O = D+
            sinon si d/c alors O = d- ou si d\c alors O = c-

si abcd\ABCD ==> retourner la balance ou se placer de l'autre côté et voir le cas précédent...Merci

Bonne réponse de Papiauche ( même s'il s'est un peu emmêlé les crayons en copiant-collant je pense au niveau de la 2nde pesée )...merci pour votre réflexion

Tant mieux pour toi si tu trouves ta solution plus claire...

Personnellement je suis déjà troublé par "(/) : penche à gauche" sur une balance de Roberval...

J'avais en tête la position de l'aiguille de la balance en formulant ma réponse ! Et ça me paraissait plus clair mais à chacun son style ...

La solution en images de Gwen27 est claire et complète.
Bravo et merci.

zikmu a écrit:

Je dispose de 12 boules parfaitement identiques d' aspect, bref il est impossible de les différencier à l'oeil et au toucher.

Par contre, elles font toutes le même poids, sauf une...qui a donc un poids différent...

Je dispose également d'une balance de Roberval...

Comment faire, en 3 pesées maximum pour identifier cette boule, et dire si elle est plus ou moins lourde que les autres ?

Voir tableau ci-dessous


Pierres A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L
Il faut envisager tout les cas de figures ,il faut donc donner
24 réponses soit c'est qui est A lourd ou léger
ou B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L

1er cas

Pesée 1 : A+B+C+D = E+F+G+H     
donc A-B-C-D-E-F-G-H = 0 et I-J-K-L = lourd,0, léger
Pesée 2 : A+B+C > I+J+K
donc A-B-C = 0 et I-J-K = 0 ou léger et L = 0
Pesée 3 : I > J donc I = 0 et J = léger et K = 0         Résultat J = léger

Pesée 3 : I = J donc I et J = 0 et K = léger               Résultat K = léger

Pesée 3 : I < J donc I = léger, J = 0 et K = 0            Résultat I = léger

2 ème cas

Pesée 1 : A+B+C+D = E+F+G+H     
donc A-B-C-D-E-F-G-H = 0 et I-J-K-L = lourd,0, léger
Pesée 2 : A+B+C = I+J+K
donc A-B-C-I-J-K = 0 et L = lourd ou léger
Pesée 3 : A < L donc L = lourd                                  Résultat L = lourd

pesée 3 ; A > L donc L = léger                                  Résultat L = léger

3 ème cas

Pesée 1 : A+B+C+D = E+F+G+H     
donc A-B-C-D-E-F-G-H = 0 et I-J-K-L = lourd,0, léger
Pesée 2 : A+B+C < I+J+K
donc I-J-K = 0 ou lourd et L = 0
Pesée 3 : I < J donc J lourd et J-k = 0                        Résultat J lourd

Pesée 3 : I = J donc K lourd et I-J = 0                       Résultat K lourd

Pesée 3 : I > J donc I lourd et J-K = 0                       Résultat I lourd

4ème cas

Pesée 1 : A+B+C+D < E+F+G+H
donc A-B-C-D = léger ou 0 et E-F-G-H- = lourd ou 0 et I-J-K-L = 0
Pesée 2 : A+B+E < C+D+F
Donc A-B = léger ou 0 et C-D-E = 0 et F = 0 ou lourd
Pesée 3 : A < B donc B = léger                                 Résultat B léger

Pesée 3 : A = B donc F = lourd                                  Résultat F lourd

Pesée 3 : A > B donc A = léger                                 Résultat A léger

5ème cas

Pesée 1 : A+B+C+D < E+F+G+H
donc A-B-C-D = léger ou 0 et E-F-G-H- = lourd ou 0 et I-J-K-L = 0
Pesée 2 : A+B+E = C+D+F
donc G-H = 0 ou lourd
pesée 3 : G < H donc H = lourd                                 Résultat H lourd

Pesée 3 : G > H donc G = lourd                                 Résultat G lourd

6ème Cas

Pesée 1 : A+B+C+D < E+F+G+H
donc A-B-C-D = léger ou 0 et E-F-G-H = lourd ou 0 et I-J-K-L = 0
Pesée 2 : A+B+E > C+D+F
donc A-B = 0 et C-D = 0 ou léger et E = 0 ou lourd
Pesée 3 : C < D donc E = 0 et C = léger                     Résultat C léger

Pesée 3 : C = D donc C et D = 0 et E = lourd              Résultat E lourd

Pesée 3 : C > D donc E = 0 et D = léger                     Résultat D léger

7ème cas

Pesée 1 : A+B+C+D > E+F+G+H
donc A,B,C,D = 0 ou lourd et E,F,G,H= 0 ou léger et I,J,K,L = 0
Pesée 2 : A+B+E < C+D+F
Donc A-B-F = 0 et C-D = 0 ou lourd et E = 0 ou léger
Pesée 3 : C < D donc E,C = 0 et D = lourd                  Résultat D lourd

pesée 3 : C = D donc C,D = 0 et E = léger                  Résultat E léger

Pesée 3 : C > D donc D,E = 0 et C = lourd                  Résultat C lourd

8ème cas

Pesée 1 : A+B+C+D > E+F+G+H
donc A,B,C,D = 0 ou lourd et E,F,G,H= 0 ou léger et I,J,K,L = 0
pesée 2 : A+B+E = C+D+F
donc Donc A,B,C,D,E,F = 0 et G,H = 0 ou léger

Pesée 3 : G < H donc G = léger                                   Résultat G léger

Pesée 3 : G > h donc H = léger                                    Résultat H léger

9ème Cas

Pesée 1 : A+B+C+D > E+F+G+H
donc A,B,C,D = 0 ou lourd et E,F,G,H= 0 ou léger et I,J,K,L = 0
Pesée 2 : A+B+E > C+D+F
Donc A,B = 0 ou lourd et F = 0 ou léger et E,C,D = 0
Pesée 3 : A < B donc A,F = 0 B = lourd                           Résultat B lourd

Pesée 3 : A = B donc A,B = 0 et F = léger                      Résultat F léger

Pesée 3 : A > B donc B,F =0 et A lourd                           Résultat A lourd

Avec un tableau on voit mieux mais......

@Maraclea : s'il y a un déséquilibre entre 9-10-11 et 1-2-3, comme on sait que les boules 1, 2 et 3 sont "normales", le sens du déséquilibre nous dit si la boule anormale est plus lourde ou plus légère.

Si 9-10-11 est plus lourd que 1-2-3, c'est que la boule anormale est plus lourde. Si 9-10-11 est plus léger que 1-2-3, c'est que la boule anormale est plus légère.

Gwen n'a traité qu'un de ces deux cas, et a ajouté une note disant qu'il souhaitait ne pas considérer les "symétriques de situations"

deuxième solution
6 d'un coté et 6 de l'autre (1 pesé)
on prends les 6 boules du plateau penché , et en met trois dans chaque partie de la balance (2 pesé) et forcément un plateau va penché, parmi les 3 boules penché, on prends deux , et en met une dans chaque plateau (3 pesé) si une des boules penche , ça sera celle ci , sinon c'est la troisième .

et il ya meme une troisième solution , au lieu de partager les 6 boules penché dans la deuxième solution en groupe de 3 ,en les partages en groupe de 2 , deux boules dans chaque plateau ,  bref , je continu pas , vous savez le suite
a+

Question pour gwen 27
Si j'ai bien compris l'énoncé , on ne sais pas si la boule différente est PLUS lourde ou MOINS lourde
Du coup pourquoi dans le cas 1.1,poses-l'hypothèse que la boule différente est forcément MOINS lourde et fait donc partie de 9 10 11 ?
Et si elle était PLUS lourde et faisait partie de 1 2 3

Même plus le temps de répondre aux questions qu'on me pose

Mais oui, le cas 1 correspond au cas où 1234 s'équilibrent avec 5678, donc, pour ces huits boules là l'incertitude est levée. Elles sont normales.