Tout d'abord, on a vu dans l'énigme précédente que le lieu des carrés d'entier pair était la demi diagonale [latex](2x)^2 \maps (x-1, -x) , x>1[/latex].

De plus on ces carrés d'entier pairs formaient les coins inférieurs de formes carrées de coté l'entier pair et centre sur le centre de la spirale (pas sur 1 mais sur le centre du carré 1-2-3-4).
Les coordonnées des autres coins du carré correspondant a l'entier [latex](2x)^2[/latex] sont [latex](-x, -x), (-x, x-1), (x-1, x-1)[/latex]
Enfin tous les entiers compris entre 2 carrés d'entier pairs se trouvent sur les cotés de ces fameuses formes carrés.

Je vais donc m'en aider pour positionner un entier quelconque [latex]n[/latex].
Je calcule d'abord le plus grand entier pair [latex]p[/latex] dont le carré est inférieur ou égal à [latex]n[/latex].
[TeX](2p)^2\le n \le (2p+2)^2[/latex]. C'est un calcul facile je prends le plancher de la racine carrée de n. Et j'enleve 1 si c'est impair.

Une fois la forme carrée identifiée je vais chercher le coté où se trouve mon entier et a ce moment la il sera trivial de donner ses coordonnées.

Si [latex]n - (2p)^2 < 2p[/latex] alors je suis sur le coté inférieur décalé de  [latex](2p)^2 - n[/latex] a gauche du coin inférieur droit. Les cordonnées de de n sont donc : [latex](p-1 - (n - (2p)^2) , -p)[/TeX]
Sinon si [latex]2p \le n - (2p)^2 < 4p[/latex] alors je suis donc décalé en haut du coin inférieur gauche[latex] (-p, -p)[/latex].
Les coordonnées sont donc : [latex](-p, -p + (n - (2p)^2 - 2p))[/latex]

Sinon si [latex]4p \le n - (2p)^2 < 6p[/latex] je suis sur le coté supérieur.
Je me positionne donc a droite du coin supérieur gauche [latex](-p, p-1)[/latex]
Les coordonnées sont : [latex](-p + (n - (2p)^2 - 4p), p-1)[/latex]

Sinon [latex]6p \le n - (2p)^2 < 8p[/latex] je suis sur le coté droit.
Je me positionne donc sous le coin supérieur droit [latex](p-1, p-1)[/latex]
Les coordonnées sont : [latex](p-1, p-1 - (n - (2p)^2 - 6p) )[/latex]

J'ai déjà proposé ma réponse pour un des deux algorithmes, celui qui donne (x,y) à partir de N ; dans le principe, je décomposais N en [(2k)^2 + 4 x j + i] et exprimais directement les coordonnées du point en fonction de i et k, en séparant le cas j=0, le cas j=1, le cas j=2 et le cas j=3. Je n'ai plus l'algo exact sous la main, mais je faisais intervenir des arrondis à l'entier inférieur, si je retrouve ma solution (qu'en toute modestie je trouvais très élégante) je la posterai par ici.

les p2tiens ont faiblis