Il s'agit ici d'un problème d'optimisation du volume avec une contrainte égalité sur la surface.

b et c sont les paramètres
V(b,c) = abc
S(b,c) = 2ab+2ac+2bc-6a² = 0

Avec la méthode de Lagrange, on pose phi (b,c) = V + m*S

On cherche alors les points de gradient nul.
phi' = [ac+2m(a+c) ; ab+2m(a+b) ; ab+ac+bc-3a²] = [0;0;0]

On arrive à deux solutions :
b = -3a    c = -3a
et
b = a       c = a

la première n'est pas possible (longueurs négatives) donc il s'agit ici d'un cube !

Ce résultat aurait peut-être pu être trouvé en observant le même phénomène avec la multiplication et la somme de nombres :
on a 6+7=5+8=4+9
et  6*7=42 > 5*8=40 > 4*9=36

Ainsi pour obtenir le volume le plus grand pour une surface fixe, il faut que les dimensions soient les plus proches possibles (a=b=c, on peut pas faire beaucoup plus proche...)

Je sais pas si cette comparaison est très compréhensible mais je trouve qu'elle reflète bien le résultat.

Je dirais [latex]x^3[/latex] en postulant naivement que tout comme en 2D, à surface constante,  on maximise le volume quand c'est un cube.

Des lors on a trivialement [latex]a=b=c=x [/latex]ce qui donne ce [latex]x^3[/latex] en volume

que c'est dur...
c'est au moins un probleme de math de 6eme...
Tout le monde sait qu'à surface égale on a un volume maximum quand le parallélépipède  est un cube...donc:
a=b=c=x

Soit a-k, a, a+k les dimensions du parallélépipède rectangle, avec k>0 et a>k.

V=a*(a-k)*(a+k) = a*(a^2 - k^2)
Vmaxi => k=0 d'ou V= a^3

Le parallélépipède rectangle de volume maximum est un cube, donc a=b=c.
S = 6x^2 = 6 a^2 => a = b = c = x

[TeX]2(ab+ac+bc)=4x^2[/latex]  [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]c=[/latex][latex]\frac{(-ab+2x^2)}{(a+b)}[/TeX]
[TeX]v(a,b)=abc=\frac{ab(-ab+2x^2)}{(a+b)}[/TeX]
[TeX]\frac{dv(a,b)}{(da)}=\frac{dv(a,b)}{(db)}[/latex]  [latex]=0[/latex]     [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]\frac{-((a^2 (2 a b + b^2 - 2 x^2))}{(a+b)^2}=\frac{-((b^2 (2 a b + a^2 - 2 x^2))}{(a+b)^2[/latex][latex]=0[/latex]  [latex]\Rightarrow a=b[/TeX]
donc:
[TeX]3a^2=3b^2=2x^2 \Rightarrow a=b=x.sqrt[\frac{2}{3}][/TeX]
[TeX]c=[/latex][latex]\frac{(-ab+2x^2)}{(a+b)}=a=b=x.sqrt[\frac{2}{3}[/TeX]
merci pour tout

dhrm77 a écrit:

que c'est dur...
c'est au moins un probleme de math de 6eme...

Quelle superbe gentillesse dans tes propos, je suis stupéfait
As-tu cherché une démo ? Non. Et elle était bien chiante à faire, à en croire la réponse donnée par salehseghiri... Je ne savais pas qu'on étudiait les dérivées partielles en sixième... Où as-tu été scolarisé ?

Vasimolo a écrit:

Une question bête . Pourquoi poser [latex]S=4x^2[/latex] et pas [latex]S=6x^2[/latex] ?

Vasimolo

C'était le cas quand j'ai répondu en tout cas.
Mais visiblement l'énoncé a été changé entre-temps ^^
Il aurait fallut prévenir qu'on cherche la nouvelle solution :-p

Je crois qu'il ne faudrait pas confondre un puzzle/une enigme avec un probleme de math.
Pour un probleme de math on applique des regles connues pour trouver la solution.
Ici, simplement a=b=c=sqrt(s/6) (quel que soit s)

Pour une énigme, il y a un coté mysterieux ou la méthode de resolution n'est pas évidente, et ou la plus grosse difficulté du probleme est donc de trouver comment la résoudre.

Et puis si on change l'énoncé, il faut prevenir ceux qui ont déjà répondu.

MthS-MlndN a écrit:

Je ne savais pas qu'on étudiait les dérivées partielles en sixième... Où as-tu été scolarisé ?

Non effectivement, pas de dérivées partielles en sixième, mais j'étais un de rare à savoir calculer une racine carrée à la main en 6eme.

Et puis le probleme était de déterminer a, b, c, et non pas de le prouver. On peut simplement determiner par observation ou approximations successives.

PS: j'ai été scolarisé dans la meme ville que minifat. Il doit y avoir quelque chose dans l'eau...

En 6ème je regardais les filles dans un coin de la cour et j'échangeais des cartes des Chevaliers du Zodiaque avec les coupains. Ce qui ne m'empêchait pas comme beaucoup d'autres de calculer une racine à la main, qui n'est rien d'autre qu'une multiplication.
Depuis, la bière a eu raison de mon potentiel (pour les racines, pas pour les filles hein namého!)

Mais euh, les multiplications c'est quand même plus tôt que la 6ème non? Je suis si vieux que ça? Tu peux plus demander à un gamin de 11 ans de faire 163x163 (par exemple)? O_o

Je donne des cours particuliers de maths de temps en temps pour des élèves entre la 6e et la terminale. Pour ceux qui ne connaissent pas les programmes vous seriez surpris ... Je vais parler comme une vieille (de 35 ans) mais tant pis : le niveau requis à chaque classe a bien baissé ...
En 4e certains élèves en sont encore à transpirer sur des calculs de proportions et de vitesses. Moi j'étudiais ça en CM1 je crois ?
Regardez les ana-bac des terminales de gestion (stg) : il y a des problèmes de pourcentages et de cumul d'intérêts sur un livret d'épargne ...