En ce moment, je collectionne les magnets dans les paquets de gateaux d'une marque que je ne nommerai pas (accessoirement, en ce moment je déterre les vieux posts du début de la décennie...)
Et comme j'avais oublié ce post, j'ai calculé combien de paquets seraient nécessaires à l'obtention des 16 vignettes (en moyenne).
En fait, le calcul n'est vraiment pas compliqué pour obtenir la formule ci-dessus, tant qu'on a les bons outils.
- Il y a N vignettes à collectionner
- Je n'en ai aucune.
*** Nombre moyen de vignettes pour obtenir une nouvelle: 1
- J'en ai une, il m'en manque N-1
*** Nombre moyen de vignettes pour obtenir une nouvelle: N/(N-1)
*** (en effet, c'est une loi de Bernoulli)
- J'en ai 2, il m'en manque N-2
*** Nombre moyen de vignettes pour obtenir une nouvelle: N/(N-2)
etc...
Au total, l'espérance de la variable aléatoire "nombre de vignettes achetées pour remplir une collection" vaut N * (1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N)
Ca, c'est le calcul exact.
Après, la somme des inverses des entiers (la série harmonique, comme on dit), diverge mais on a un développement asymptotique qui est somme(1/i) = ln(n) + gamma + 0(1)
Dans cette formule, gamma est la constante d'Euler-Mascheroni et vaut 0,577215664901532860..., qu'on arrondira à 0.58
D'où la formule ci-dessus: N*(1/1+1/2+1/3+1/4...) ~=~ N*(ln(N)+0.58)
Il va donc me falloir 54 paquets de gateaux pour achever cette collection...
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