Je me demande bien sous quelle forme tu attends quelque chose dans la case réponse !

Sinon, j'ai déjà ceci :
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 (+ différentes combinaisons)
1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 (+ différentes combinaisons)
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4

Bonjour

Une solution triviale : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Une autre solution : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1

> cf les énigmes "Héritage" ou il faut partager 11 objets(*) entre trois personnes à raison de 1/2 pour la première, 1/4 pour la deuxième et 1/6 pour la dernière, la répartition peut se faire en ajoutant temporairement un objet (11+1 = 12) pour faire le partage, objet qui n'est pas distribué.

(*) : chameaux, chevaux, voitures, ....


> Autres solutions obtenues par balayage à défaut d'une résolution plus élégante.

a, b,  c,  d
2, 3, 9, 18 (les 17 chameaux plus bas)
2, 3, 12, 12
2, 4, 5, 20
2, 4, 6, 12 (exemple ci-dessus)
2, 4, 8, 8
3, 3, 4, 12
4, 4, 4, 4
... ?

> en fait l'enoncé est équivalent à
d/a + d/b + d/c = d-1
(a,b,c,d entiers naturels)

donc pour partager (d-1) en trois proportions 1/a, 1/b et 1/c,
avec bien sûr (d-1) non divisible par a, ni par b ni par c,
on ajoute une unité extérieure à  d-1 soit d-1+1 = d, on effectue le partage, et on restitue cette unité à son propriétaire ...

Bonne journée

équation 1/a+1/b+1/c+1/d=1

soit :a+b+c+d=1/1
soit:a+b+c+d=1 soit a+b+c+d+1=0
soit: a+b+c+d+1=0 et(a+b+c+d+1)-(a+b+c+d+1)=0-(a+b+c+d+1)
soit: 0=-a-b-c-d

xD ben c'est pas ça ^^

Bonjour,
Je n'ai trouvé qu'une méthode empirique et dichotomique aboutissant à 14 solutions.
Supposons 1 < a ≤ b ≤ c ≤ d.
Alors 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≤ 4/a donc 1 ≤ 4/a donc a ≤ 4 (et a > 1). D'où 3 cas à analyser : a=4, a=3 et a=2.

1) a = 4
Alors 1/4 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/4 + 3/b donc 3/4 ≤ 3/b donc b ≤ 4.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4. De la même façon c=4 et d=4.
Solution1 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

2) a = 3
Alors 1/3 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/3 + 3/b donc 2/3 ≤ 3/b donc b ≤ 9/2.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4 ou b=3.

2a) b = 4
Alors 1/3 + 1/4 + 1/c + 1/d = 7/12 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/12 + 2/c donc 5/12 ≤ 2/c donc c ≤ 24/5.
Et comme c ≥ b, on voit que c=4
Solution2 : 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1

2b) b = 3
Alors 1/3 + 1/3 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=3, c=4, c=5 ou c=6.
Solution3 : 1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/12 = 1
Solution4 : 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1

3) a = 2
Alors 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/2 + 3/b donc 1/2 ≤ 3/b donc b ≤ 6.
Et comme b ≥ a, on voit que b=6, b=5, b=4 ou b=3 (b=2 ne marche pas).

3a) b = 6
Alors 1/2 + 1/6 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=6 et par suite que d=6.
Solution5 : 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

3b) b = 5
Alors 1/2 + 1/5 + 1/c + 1/d = 7/10 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/10 + 2/c donc 3/10 ≤ 2/c donc c ≤ 20/3.
Et comme c ≥ b, on voit que c=5 ou c=6.
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/5 = 1/10
Solution6 : 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1
Si c= 6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/6 = 4/30 = 2/15 non réductible

3c) b = 4
Alors 1/2 + 1/4 + 1/c + 1/d = 3/4 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 3/4 + 2/c donc 1/4 ≤ 2/c donc c ≤ 8.
Et comme c ≥ b, on voit que c=8, c=7, c=6 ou c=5 (c=4 ne marche pas).
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 = 1/8
Solution7 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/7 = 3/28 non réductible
Si c=6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/12
Solution8 : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/5 = 1/20
Solution9 : 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1

3d) b = 3
Alors 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 5/6 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 5/6 + 2/c donc 1/6 ≤ 2/c donc c ≤ 12.
Et comme 1/2 + 1/3 + 1/c < 1 donc 1/c < 1/6 donc c > 6, on voit que c=12, c= 11, c=10, c= 9, c=8 ou c=7.
Si c=12, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/12 = 1/12
Solution10 : 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1
Si c=11, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 non réductible
Si c=10, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/10 = 2/30 = 1/15
Solution11 : 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1
Si c=9, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/9 = 1/18
Solution12 : 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/8 = 1/24
Solution13 : 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42
Solution14 : 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1

FIN de la démonstration *** ouf... ***

14 solutions:
2,3,7,42
2,3,8,24
2,3,9,18
2,3,10,15
2,3,12,12
2,4,5,20
2,4,6,12
2,4,8,8
2,5,5,10
2,6,6,6
3,3,4,12
3,3,6,6
3,4,4,6
4,4,4,4

Tout à la main, rien à l'ordi, j'espère ne pas en avoir oublié.
Début du raisonnement:
Si a,b,c, et d sont tous >4 la somme de leur inverse est < 4. 1/4 donc ne peut être égale à 1.
Donc l'un d'entre eux (choisissons que c'est a) ne peut valoir que 2, 3 ou 4 (1 évidemment exclu).
Pour chaque cas, on recommence, example a=2:
1/b+1/c+1/d=1/2
Si b, c et d tous > 6, la somme de leur inverse est < 3.1/6 donc ne peux être = 1/2.
Donc l'un d'entre eux est <= 6 (choisissons que c'est b).
Comme b ne peut valoir 2 (sinon comme a=2, 1/a+1/b=1 et donc la somme ne peut-être =1), b vaut 3, 4, 5 ou 6
Prenons le cas b=3: 1/c+1/d=1/6 <=> 6c+6d=cd (car c et d <>0) <=> c = 6 + 36/(d-6) (c'est la qu'est la ruse). Donc d-6 divise 36 donc d-6 vaut ... Ne pas oublier les négatifs (qui dans ce cas ne conviennent pas car alors c ou d sont négatifs: A NOTER QUE L'ENONCE NE L'EXCLUT PAS MAIS JE NE VAIS PAS TRAITER CES CAS). On en deduit les c et d possibles pour le cas a=2 et b=2.

On applique le meme raisonnement pour tous les autres cas.
Une petite ruse quand meme. Dans 2 cas la ruse ci-dessus ne fonctionne pas.
Par exemple a=2, b=5 qui donne 1/c+1/d=3/10.
Dans ce cas on a c=f(d)=10d/(3d-10) qui tend vers 10/3 par le haut donc on cherche d0 / f(d0)=4 (d0=20) et c'est la plus grande valeur à tester. Dans ce cas pour eliminer des tests on peut voir que 10/cd donc 5 divise c ou d, ...

Pour donner les réponses comme demandé par ordre croissant du plus grand de chaque cas:
4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 42
La relation avec le probleme des 17 chameaux est qu'on peut poser le meme probleme avec chacune des valeurs ci-dessus diminuée de 1 et avec comme diviseurs les 3 autres nombres dans la meme solution:
Si on prend la solution: 2,3,7,42 on peux poser le probleme de la facon suivante:
41 chameaux: l'ainé en prend la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le 7eme: on rajoute un chameau -> 42: La division donne: 21, 14 et 6 dont la somme fait 41 et on recupere le chameau qu'on avait rajouté.

Voila, voila....

J'ai oublié de préciser que ce sont tous des entiers naturels strictement positifs --

les réponses a inscrire sont les valeurs de d trouvées par ordre croissant (avec a<=b<=c<=d),séparées par des virgules

ce problème est une généralisation de celui-ci:

Les 17 chameaux

Un vieil homme, à l'approche de sa mort, décide de partager son troupeau de 17 chameaux entre ses trois fils. L'aîné héritera de la moitié du troupeau, le cadet du tiers et le benjamin du neuvième. Confrontés à l'indivisibilité de 17 par 2, 3 et 9, les trois frères vont trouver le sage du village. Celui-ci, fin mathématicien, leur propose une solution qui, sans avoir recours à une boucherie, respecte les volontés du vieil homme.

Comment le sage s'y prent-il pour effectuer le partage ?

Bonjour après 17 secondes de réflection voici ma réponse :
[TeX]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{24}=1[/TeX]
Niveau 5ème mais toute personne ayant la base du calcul arithmétique en est capable!

On a donc au moins 14 solutions distinctes... Joli score

comment on fait si on a
5/n = 1/a + 1/b + 1/c

si n = 5
si n = 17