Notre apprenti calamiteux a bien trop fait cuire le quatre quarts que je lui ai commandé . Profitant de l'absence de son patron , je lui fait remarquer que le bord du gâteau se sent un peu mal . Voulant bien faire , il s'empare d'un couteau et commence à 'enlever les parties incriminées . Les pas de son chef dans son dos lui font quelque peu massacrer la fin du travail et voilà la bête :
Mais quel était donc le rayon du gâteau ????
Vasimolo
Pour ceux qui veulent une démonstration "à la main" :
étant donné les doublons, je me place sur un demi cercle, avec 3 segments de 4, 14 et 22cm qui le partagent.
Il y a donc 4 points, disons A,B,C,D de coordonnées : [TeX]A(-r,0),\quad B(r \cos x, r \sin x),\quad C(r \cos y, r \sin y),\quad D(r,0)[/TeX] avec [latex]AB = \sqrt{r^2 {(\cos x +1)}^2+r^2 \sin^2 x}= r \sqrt{2(1+\cos x)}=4[/latex] [TeX]BC = r \sqrt{{(\cos y - \cos x)}^2+{(\sin y - \sin x)}^2} = r \sqrt{2(1-\cos x \cos y - \sin x \sin y)} = r \sqrt{2(1-\cos(y-x))}=14[/TeX] [TeX]CD=r\sqrt{{(1-\cos y)}^2+\sin^2 y}=r\sqrt{2(1-\cos y)} = 22[/TeX] portons tout au carré: [TeX]r^2 (1+\cos x)=8[/TeX] [TeX]r^2 (1-\cos(x-y))= 98[/TeX] [TeX]r^2 (1-\cos y)=242[/TeX] Ou en notant [latex]X=\cos x[/latex] et [latex]Y=\cos y[/latex], il vient : [TeX]r^2 (1+X)=8[/TeX] [TeX]r^2 (1-XY-\sqrt{1-X^2}\sqrt{1-Y^2})= 98[/TeX] [TeX]r^2 (1-Y)=242[/TeX] Un ordi doit pouvoir résoudre ca mais j'ai la flemme.
On peut diviser notre gâteau en 6 triangles isocèles dont les cotés égaux sont le rayon et le dernier coté un des cotés du gâteau (4, 14 ou 22). Nous obtenons ainsi 2 exemplaires de trois triangles différents.
Les aires de ces triangles en fonction du rayon sont [latex]4sqrt(r^2-4)[/latex], [latex]7sqrt(r^2-49)[/latex] et [latex]11sqrt(r^2-121)[/latex].
Si on répartit différemment les six triangles on peut découper le gâteau en deux parts égales séparées par un diamètre et dont les 4 cotés sont 4, 14, 22 et 2r. Ces parts sont des quadrilatères inscrits dans un cercle on peut donc exprimer leur aire en fonction de leur cotés : [latex]sqrt{(r+16)(r+6)(r-2)(-r+20)}[/latex]
en comparant la somme des aires des trois triangles différents avec celle d'une moitié de gâteau, http://www.wolframalpha.com/ me répond 14 en approximation. En remplaçant je trouve bien que 14 est correct.
Je sais démontrer que R=14 convient mais je ne vois pas comment aboutir à cette valeur...
Pour cette vérification, je note 2a l'angle qui intercepte les 22 cm et 2b celui qui intercepte les 4 cm. En traçant les bissectrices, j'obtiens deux valeurs utiles : [TeX]sin a = \frac{11}{14}[/latex] et [latex]sin b = \frac{2}{14}[/TeX] Par suite : [TeX]cos a = \frac{\sqrt{75}}{14}[/latex] et [latex]cos b = \frac{\sqrt{192}}{14}[/TeX] Une petite formule : [TeX]cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b = \frac12[/latex] d'où [latex]a+b=\frac\pi3[/TeX] 2a+2b valent donc 120° et un triangle équilatéral de côté 14 a un angle au centre de 60°, le total donne bien 180° avec un triangle de chaque sorte, donc 360° pour le tout.
Avec l'indice Ptolémée : J'ai réorganisé les cordes à ma guise... AB*CD+BC*AD=AC*BD On connaît AB=22, BC=4 et CD=14. On pose AD=2r et les longueurs AC et BD sont des troisièmes côtés de triangles rectangles.
En élevant au carré après division par 4 : [latex](r^2-11^2)(r^2-7^2)=(2r+77)^2[/latex]
On réduit et ordonne : [latex]r^4-174r^2-308r=0 [/latex]
On factorise : [latex]r(r-14)(r^2+14r+22)=0[/latex]
Il n'y a qu'une solution strictement positive : r=14.
J'avais tout oublié de Ptolémée.
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
methode intuitive on dit que le périmètre du cercle est un peu plus grang que celui de l'hexagone donc en prenant pi=3 on aura une valeur approchée du périmètre de l'hexagone donc 6R=80 donc R=13.3
démonstration si on trace les rayons sur le cercle de centre O on arrive à 6 triangles isocèles: 2 triangles isocèles de base 4 cm et d'angle à la base a° 2 triangles isocèles de base 14 cm et d'angle à la base b° 2 triangles isocèles de base 22 cm et d'angle à la base c°
la somme des angles d'un hexagone est de 720° donc 4(a+b+c)=720 donc a+b+c=180°
Si on prend un triangle de chaque et qu'on les colle les uns contre les autres alors l'angle en O est 180-2a+180-2b+180-2c=540-2(a+b+c)=540-360=180° donc il est plat
donc ce quadrilatère est inscrit dans un demi-cercle dont les côtés sont 4cm; 14cm; 22cm et 2R
puisque les point sont sur les demi cercle alors il y a 2 triangles rectangles donc les diagonales valent [latex]\sqrt{4R^2-16}=2\sqrt{R^2-4}[/latex] et [latex]\sqrt{4R^2-196}=2\sqrt{R^2-49}[/latex]
donc d'après le théorème de Ptolémée [TeX]4\sqrt{R^2-49}\sqrt{R^2-4}=4\times 14+22\times 2R[/TeX] [TeX]\sqrt{(R^2-49)(R^2-4)}=14+11R[/TeX] [TeX]R^4-53R^2+196=(14+11R)^2=196+308R+121R^2[/TeX] [TeX]R(R^3-174R-308)=0[/TeX] donc [latex]R=0 ou R^3-174R-308=0[/latex]
et en testant le rayon vaut 14 cm ou en faisant le méthode de Cardan que je n'ai jamais utilisé.....
Je préfère celles qui n'utilisent pas les solveurs ou autre ( ça n'engage que moi )
Ma solution est celle de scrablor et looozer , changer l'ordre des côtés , pythagore et Ptolémée . On tombe sur une équation de degré trois mais la solution "évidente" 14 apparait assez vite
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, mais y'aura-t-il quelqu'un pour résoudre l'énigme sans solveur ou autre abominable machinerie 
