Je pressens que ce gâteau est "inratable".

L'égalité des aires est assez évidente.

Pour les périmètres, j'ai l'impression qu'ils sont égaux à ceux des triangles équilatéraux d'origine, mais je n'ai pas encore réussi à le prouver.

Si je dis qu'il est trivial que les aires seront les mêmes, ça compte comme une résolution de la moitié du problème, ou pas ? Parce que je bloque sévèrement sur les périmètres

ils ont la meme taille c'est une symétrie les rouges et les bleus se valent!!

Je ne vais plus avoir le loisir de répondre pendant quelques temps , j'écourte donc le temps de résolution en messages cachés ( désolé pour ceux qui cherchaient encore ) .

Je suis persuadé que le début de solution proposé par scablor peut aboutir  mais j'avoue que je n'ai pas cherché très longtemps

Un raccourci de la solution de McFlambi me gène un peu mais j'ai dû mal comprendre

Bon voilà ma solution :

On retrouve les triangles de départ en ajoutant l'aire jaune aux aires bleues ou rouges donc ces dernières sont identiques . Reste les périmètres .

On note les triangles 1 , 2 , ... , 6 et les différents côtés ,[latex] a_i , b_i , c_i[/latex] comme sur le modèle . Notons [latex]L[/latex] les côtés des triangles équilatéraux .



On passe du modèle aux triangles 1 , 2 , ... , 6 en multipliant les dimensions du modèle par [latex]k_1 , k_2 , ... , k_6[/latex] .

On détaille pour chacun des côtés des deux triangles équilatéraux :
[TeX]a_1+b_2+c_6=k_1a+k_2b+k_6c=L[/TeX]
[TeX]a_2+b_1+c_3=k_2a+k_1b+k_3c=L[/TeX]
[TeX]a_3+b_4+c_2=k_3a+k_4b+k_2c=L[/TeX]
[TeX]a_4+b_3+c_5=k_4a+k_3b+k_5c=L[/TeX]
[TeX]a_5+b_6+c_4=k_5a+k_6b+k_4c=L[/TeX]
[TeX]a_6+b_5+c_1=k_6a+k_5b+k_1c=L[/TeX]
En ajoutant les lignes de même parité :
[TeX](k_1+k_3+k_5)a+(k_2+k_4+k_6)(b+c)=3L[/TeX]
[TeX](k_2+k_4+k_6)a+(k_1+k_3+k_5)(b+c)=3L[/TeX]
Puis en soustrayant membre à membre :
[TeX]( a-b-c)(k_1+k_3+k_5)= ( a-b-c)(k_2+k_4+k_6)[/TeX]
Comme le triangle modèle n'est pas aplati , [latex]a \neq b+c , k_1+k_3+k_5=k_2+k_4+k_6[/latex] et c'est fini .

Le problème se généralise sans problème en remplaçant "triangle équilatéral" par "polygone régulier"

Un énorme Merci aux participants

Vasimolo

dans ma démo, le [latex]\lambda[/latex] est le même pour bleu et rouge car il dépend uniquement de la forme (du modèle si vous voulez, qui est le même pour bleu et rouge). En fait, [latex]\lambda[/latex] est la proportion entre le périmètre et le côté collé à l'hexagone (qui est toujours le même côté du modèle), qui sont (il me semblait clairement) proportionnels. Avec mes notations ([latex]c_h[/latex] le côté sur l'hexagone, [latex]c_{p_{i}}[/latex] les côtés sur les 2 pointes, exposants en [latex]i[/latex] pour les 6 différents triangles.), cela vient de ce que :
[TeX]\lambda = \frac{c_h}{c_h+c_{p_{1}}+c_{p_{2}}}= \frac{k^{j} c_h}{k^{j} c_h+k^{j} c_{p_{1}}+k^{j} c_{p_{2}}}=\lambda^{j}[/TeX]
Comme les [latex]\lambda[/latex] sont les mêmes pour tous les petits triangles, il vient directement :
[TeX]\sum_{b} c_{h}^{b} = \sum_{b} \lambda (c_{h}^{b}+c_{p_{1}}^{b}+c_{p_{2}}^{b}) =\lambda \sum_{b} (c_{h}^{b}+c_{p_{1}}^{b}+c_{p_{2}}^{b}) = \lambda C^{b}[/TeX]
à moins que je me fourvoie quelquepart...