Il faut que tu précises que l'hexagone est régulier dans ton énoncé, sinon on ne peut rien déduire.

Soit a la longueur d'un côté, donc a est aussi le rayon du cercle circonscrit (puisqu'en traçant les segments reliant le centre de l'hexagone à chacun de ses sommets on le découpe en six triangles équilatéraux).

On peut montrer très facilement que le triangle vert est rectangle : si on relie le point le plus à droite au centre de l'hexagone, on obtient le troisième segment d'un des six triangles équilatéraux cités au paragraphe ci-dessus, et le segment qui transperce le triangle vert (une de ses hauteurs) est la bissectrice d'un angle de ce triangle. L'angle entre les deux côtés "de droite" du triangle vert mesure donc 30°+60°, et voilà.

On "connaît" donc deux dimensions du triangle vert : le segment "du haut" mesure a, l'hypoténuse mesure 2a. Pythagore nous donne la longueur du troisième côté : [latex]a \sqrt{3}[/latex]. Et l'aire du triangle s'en déduit vite : le demi-produit des deux côtés formant l'angle droit, soit [latex]\frac{\sqrt{3} a^2}{2}[/latex].

Plus qu'à calculer a... Le plus simple : l'aire de l'hexagone vaut [latex]\frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2[/latex], et on sait que ça donne 30, donc [latex]a^2 = \frac{20}{\sqrt{3}}[/latex] (je serais censé mettre la racine au numérateur, mais j'ai la flemme).

L'aire du triangle est donc [latex]\frac{\sqrt{3} \frac{20}{\sqrt{3}}}{2}= 10 cm^2[/latex].





EDIT : en fait, on peut faire encore plus simple... On sépare l'hexagone en six triangles équilatéraux identiques (comme décrit plus haut), chacun d'aire [latex]5 cm^2[/latex]. Alors le triangle vert est formé d'un de ces triangles, et des moitiés de deux autres, d'où résultat...

Réponse : 10cm²

On admet que l'hexagone est régulier !

On note ABCDEF ses sommets (à partir du sommet du haut, dans le sens direct) et O son centre.

L'aire de ABCD est 15cm² (la diagonale [AD] joint de sommets opposés).

Le quadrilatère ODEF est un losange (l'hexagone est régulier) donc le triangle DEF fait la moitié de sa surface. Par rotations de centre O et d'angle 120°, 240° on remarque que l'aire de ODEF fait un tiers de l'aire de ABCDEF. Donc l'aire de DEF est de 5cm².

Par différence, l'aire de ADF est de 10cm².

L'aire d'un hexagone régulier de côté c est [latex]A=\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2[/latex]
A=30, on en déduit la valeur de c: [latex]\sqrt{\frac{20\sqrt{3}}{3}}[/latex] en cm.

De plus dans un hexagone régulier, les angles font 120°. Avec un peu de trigo et le résultat précédent, on trouve la valeur d'une "demi petite diagonale" et en multipliant le résultat par 2, la longueur d'une petite diagonale: [latex]\sqrt{20\sqrt{3}}[/latex] en cm

De plus, toujours parce que les angles font 120°, on peut voir que triangle défini par la surface verte admet un angle droit (entre le côté de l'héxagone et la petite diagonale).

L'aire verte est donc égale à [latex]\frac{1}{2}*\sqrt{20\sqrt{3}}*\sqrt{\frac{20\sqrt{3}}{3}}= 10[/latex]
L'aire de la surface verte est dont le tiers de celle de l'hexagone, soit 10cm²

le triangle équilatéral dessiné fait la moitie de l'hexagone.
lorsque l'on superpose 6 fois le triangle vert on obtient l'hexagone complet, mais il y a 2 fois le triangle en plus:
6*v = 30+2* (30/2)
v = 10.