F(R,1) = 1+ somme de 1 à (R-1)= 1+1+2+3+....+(R-1)

F(R,C) = F(R,1) + (C-1)

donc N = 1+2+3....+R+C=  (R-1)X(R/2) +C



Pour l'inverse, il faut considérer le nombre N' = F ( R,1 )

N'=R(R-1)+1

D'ou R= racine( 2N' - 7/4 )  + 1/2

Cette valeur ne prenant des valeurs entières que pour C=1, on en déduit que

R= ENT( Racine ( 2N-7/4 ) + 1/2 )

et donc que  (à partir de R précédemment trouvé) :

C= N -  R(R-1)/2

[TeX]F(R;C)={{(R-1)\times R}\over 2} + C[/latex] car on on a la somme des entiers de 1 à R-1 avant d'ajouter C

Soit N un entier naturel alors il existe [latex]R\in N tel que {{R^2 - R}\over 2}<= N < {{R^2+R}\over 2}[/latex] donc on va résoudre l'équation R²+R-2N et on va prendre R la partie entière de la solution positive donc[latex] R=E({{-1+\sqrt{1+8N}}\over 2})[/latex] et[latex] C=N - {{R^2 - R}\over 2}[/TeX]

1. F(R,C) est le nombre situe dans la ligne en dessous du triangle comptant (R-1)R/2 elements, et c'est le C-ieme element de cette ligne, donc

F(R,C)=R(R-1)/2+C

2. Soit N un nombre, j'appelle M le nombre qui est sur la meme ligne mais a la fin de celle ci, et m le denier nombre sur la ligne du dessus. Alors M et m sont de la forme:

m = R(R-1)/2
M = R(R+1)/2 = m+R

soit

R(R-1)/2 < N <= R(R+1)/2

que je transforme en

2m = R(R-1) < 2N <= R(R+1) = 2M = 2m+2R

Ensuite si je regarde la fonction croissante monotone pour x>0
[TeX]f(x)=x(x+1)=x^2+x[/TeX]
sa reciproque pour x est (valeurs >0)
[TeX]g(y) = \frac{ \sqrt{4 y+1}-1}2[/TeX]
Donc      [latex]R=\lceil\frac{ \sqrt{8 N+1}-1}2\rceil[/latex]

et finalement
[TeX]C=N-R(R-1)/2[/TeX]

[TeX]F(R,C)=\frac{R(R-1)}2+C[/TeX]
Le premier terme donne le nombre de nombres utilisés dans la pyramide jusqu'à la rangée R-1 (somme des R-1 premiers entiers), le second le nombre de nombres utilisés dans la rangée numéro R.

Pour la réciproque, si N>0,
[TeX]F(R,C)=N\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}R=\left[\frac{1+\sqrt{8N-7}}2\right]\\ C=N-\frac{R(R-1)}2\end{array}\right.[/TeX]
En effet, R est la plus grande solution entière de l'inéquation [latex]\frac{R(R-1)}2\leq N-1[/latex]. Les entiers solutions de cette inéquation sont dans l'intervalle [latex]\left[\frac{1-\sqrt{8N-7}}2,\frac{1+\sqrt{8N-7}}2\right]~[/latex].

Le plus grand est la partie entière de la borne supérieure de l'intevalle. On obtient C d'après la formule ci dessus.

1) Je commence par calculer le premier élément d'une ligne quelconque. Il suffit d'ajouter 1 à la somme des nombres d'éléments des lignes supérieures.
[TeX]F(R,1)=1+(R-1)+(R-2)+...+1=1+\frac{(R-1)R}{2}[/TeX]
Puis, il n'est n'est pas difficile de voir que:
[TeX]F(R, C)=F(R,1)+C-1[/TeX]
Ce qui donne:
[TeX]\fbox{F(R,C)=\frac{(R-1)R}{2}+C}[/TeX]
2) Moins facile que ça en a l'air!
Soit un élément [latex]N[/latex] du triangle.
Alors il est plus petit que le premier de la ligne suivante et plus grand que le dernier de la ligne précédente, soit:
[TeX]F(R,1)-1<N<F(R+1,1)[/TeX]
Ce qui est équivalent à:
[TeX]\fbox{\frac 12\left(\sqrt{1+8(N-1)}-1\right)<R<\frac 12\left(\sqrt{1+8N}+1\right)}[/TeX]
[TeX]R[/latex] est donc l'unique entier vérifiant ces inéquations, puis on en déduit facilement [latex]C[/latex]:
[latex]\fbox{C=N-\frac{(R-1)R}{2}}[/TeX]

Amusant. Je crois que j'ai croisé ça il y a quelques années dans le championnat FFJM mais je n'ai pas le courage de chercher quand.

Tout le raisonnement se base sur la formule de la somme des premiers entiers:
[TeX]\sum_{k=1}^n{k}=\dfrac{n(n+1)}2[/TeX]
La première ligne contient 1 nombre, la seconde 2, donc le dernier nombre de la 2ème ligne est 1+2=3. La troisième ligne contient 3 nombres et le dernier nombre de la 3ème ligne est donc 1+2+3=6.
On voit donc aisement que le dernier nombre de la ligne R est donc R(R+1)/2.
Pour un nombre sur la ligne R, le dernier nombre de la ligne R-1 est R(R-1)/2 et le nombre n est le "C-ième" de la ligne R.

On a donc [latex]F(L,C)=\dfrac{L(L-1)}2+C[/latex]
(J'utilise L(igne) au lieu de R(ow) pour les lignes en français )

Pour trouver la formule inverse, c'est à peine plus compliqué.
Il suffit de trouver sur quelle ligne il se trouve.
Lorsqu'on à la ligne L, on en déduit la colonne par: [latex]C=n-\dfrac{L(L-1)}2[/latex].
Pour trouver la ligne L(n) pour le nombre n, on remarque que:
[TeX]\dfrac{L(L-1)}2<n\le\dfrac{L(L+1)}2[/TeX]
[TeX]\dfrac{L(L-1)}2<2n \Rightarrow (L-\dfrac12)^2-\dfrac14-2n<0 \Rightarrow L<\dfrac12+sqrt{2n+\dfrac14}[/latex] (vu nos conditions de positivité)

L'égalité n'étant jamais possible (l'égalité serait vraie pour le premier nombre de la ligne suivante). De même avec l'autre inéquation on montre que:
[latex]sqrt{2n-\dfrac14}-\dfrac12 \le L<\dfrac12+sqrt{2n+\dfrac14}[/TeX]
On en déduit:
[TeX]L(n)=E(sqrt{2n-\dfrac14}+\dfrac12 )[/latex], où E(x) désigne la partie entière de x et [latex]C(n)=n-\dfrac{L(n)(L(n)-1)}2[/TeX]
Voila, voila. Merci pour avoir partagé cette énigme et comme je n'ai pas besoin de la calculatrice, je la laisse à quelqu'un d'autre

Le hasard a décidé que le gagnant était Nate Burchell, sa solution :