Oh ! Quelle est jolie celle-là !

On remarque tout de suite que [latex]a@b[/latex] n'est pas définie pour [latex]b=0[/latex]...

1) [latex]a/b = (a@b)@1[/latex] et en particulier [latex]1/b = (1@b)@1[/latex]

2) [latex]a*b = [/latex]
    si [latex]b=0[/latex]
         alors [latex]0 [/latex]
         sinon [latex]a/(1/b) = (a@((1@b)@1))@1[/latex]

comme [latex]2@1 = -1[/latex], et [latex]-a = a*(-1) = a@((1@(2@1))@1))@1[/latex], on a aussi :

3) [latex]a-b =[/latex]
    si [latex]a= 0[/latex]
         alors [latex]-b[/latex], c'est-à-dire [latex](b@((1@(2@1))@1))@1[/latex]
         sinon [latex]a*(1-b/a)= a * (b@a) = (a@((1@(b@a))@1))@1 [/latex]


4) [latex]a+b = [/latex]
    si [latex]a= 0[/latex]
         alors [latex]b[/latex]
         sinon [latex] a - (-b) = a * (-b@a) [/latex]
[TeX]= a@((1@(((b@((1@(2@1))@1))@1)@a))@1))@1[/TeX]
PS : et celle-là, elle vient d'où si c'est pas indiscret ?

a/b= (a@b)@1


1/b=(1@b)@1
a*b=a/(1/b)=(a@((1@b)@1)@1)

a@b=(b-a)/b
b-a=((b-a)/b)*b=( (a@b)@((1@b)@1)@1)



-a=a-2a
2a=(a@((1@2)@1)
-a=a-2a=((a@(a@((1@2)@1)@((1@.............
b+a=b-(-a)=.........................................trop long à faire

Très bonne idée de problème, je sens que ça va bien me prendre la tête...

Déjà une solution rapide et simple pour la division :
(a@b)@1 = 1-(a@b) = a/b

Mais également : 1@(1@(b@a)) = a/b
Donc il y a plusieurs solutions possibles, et le but du jeu devrait être de trouver les plus simples.

En outre, une fois qu'on a la division, il n'est pas difficile d'obtenir la multiplication, puisqu'il suffit de remplacer b par 1/b qui n'est autre que la division de 1 par b.
Donc (a@((1@b)@1))@1 = ab
Ça marche, mais il y a certainement plus simple...

Pour la soustraction : puisque b@a = (a-b)/a, il suffit par exemple de diviser b@a par 1/a :
[ (b@a) @ ( (1@a)@1 ) ] @1 = a-b. Là aussi, il doit y avoir plus simple....

Pour l'addition : on peut remarquer que (a@b)@(b@a) = 1+(a/b) = (a+b)/b. Il suffit donc de diviser cette expression par 1/b :
[ ((a@b)@(b@a)) @ ( (1@b)@1 ) ] @1 = a+b

A suivre pour d'éventuelles simplifications...
On peut aussi remarquer que, puisque 2@1=-1, alors :
a@(2@1)=1+a
et (a@(2@1))@1=-a

Klim.

A noter que cette operation n'est ni associative ni commutative.
Je commence par les choses "évidentes":
[TeX]a@a=0[/latex] (pas très utile).
[latex]a@0[/latex] est impossible.
[latex]a@1=1-a[/latex] (1)
[latex]1@a=1-\dfrac1a[/TeX]
Sa structure me fait penser à essayer la conjugaison:
[TeX](1@a)@1=\dfrac1a[/latex] (2)
[latex](a@1)@a=-\dfrac1a[/latex] (3)
[latex](a@b)@a=1-\dfrac1a+\dfrac1b[/latex] (4)
D'après (2) et (3): [latex](1@((a@1)@a))@1=-a[/latex] (6)

Je pense qu'avec ces 5 relations on peut déjà pas mal avancer.

[latex]a@b=1-\dfrac{a}b[/latex]. On cherche à faire [latex]\dfrac{a}b=1-(1-\dfrac{a}b)=(a@b)@1[/latex] d'après (1).
[latex]\fbox{\dfrac{a}b=(a@b)@1}[/latex] (5)

[latex]ab=\dfrac{a}{\dfrac1b}[/TeX]
D'après (2), [latex]\dfrac1b=(1@b)@1[/latex].
Et d'après (5), [latex]\dfrac{a}{\dfrac1b}=(a@\dfrac1b)@1[/latex]
Donc: [latex]\fbox{ab=(a@((1@b)@1))@1}[/latex]

Pour a-b, on utilise une combinaison de (4), (2) et (1):
[TeX]((a@b)@a)@1=1-(1-\dfrac1a+\dfrac1b)=\dfrac1a-\dfrac1b[/TeX]
Donc [latex]\fbox{a-b=((((1@a)@1)@((1@b)@1))@((1@a)@1))@1}[/latex]

Et donc d'après (6):
Donc [latex]\fbox{a+b=((((1@a)@1)@((1@((1@((b@1)@b))@1))@1))@((1@a)@1))@1}[/latex]

Il est peut être possible de simplifier un peu mais ça marche.
On dirait du LISP. Beurk...

Puis-je me permettre de proposer un post dans lequel on verrait le nombre minimum de signes @ utilisés pour chaque opération ? Je suis curieux de savoir si l'on peut faire moins que ce que j'ai fait, et sans doute cela nous relancerait encore...

Il faudrait peut-etre preciser quelle est l'associativité de cette fonction, avant que l'on puisse répondre.
A quoi est égal a@b@c ?
est-ce  (a@b)@c = 1-((1-(a/b))/c) = 1-1/c + a/b.c ?
ou a@(b@c) = 1-(a/(1-b/c)) = 1 - (a.c/(c-b)) ?

*Si a ≠ 1: a+b = (b@(a@1))@((1@((a@1))@1))
* Si a = 1: 1+b = b@(2@1)

Si a ≠ 0: a-b = ((b@a)@((1@a)@1))@1
Si a = 0: 0-b = (b@(2@1))@1

ab = (a@((1@b)@1))@1  ---> si b≠0

a/b = (a@b)@1

Bravo à ceux qui ont trouvé et merci pour les nombreuses réponses.

Mathias, je lis toutes les réponses et le contenu de chaque réponse. Si je suis resté silencieux sur l'origine de cette énigme, c'est pour préserver quelques solutions à venir.