Je ne sait pas si il existe beaucoup d'autres solutions, mais en voici une très simple : 525125

Glup ! je crois que j'ai lu un peu trop rapidement la question : j'avais fait abstraction de la précision 'distincts' ( à moins qu'elle ait été rajoutée après ? mais j'avoue que j'ai sans doute été distrait ...)

Voilà au moins qui répond à la première question subsidiaire :
OUI , on peut au moins trouver une solution avec des chiffres non distincts : 525125

Avec des chiffres distincts, il me faut quand même plus 5 minutes pour trouver une solution, au lieu de moins d'une minute précédemment :   349125

Pour la deuxième question subsidiaire, la réponse est OUI :
   204008,    216008,    225008,    236008,    249008,   264008,   281008,
   409008,    416008,    425008,    etc ... seraient alors des solutions acceptables, sans compter toutes les solutions où on utilise des carrés ou/et des cubes de "1".

Bravo ! Trés joli problème.

D'abord, on remarque que les cubes composés de trois chiffres distincts sont rares : 125, 216, 512, 729. Un peu plus de choix pour les carrés a deux chiffres : 16, 25, 36, 49, 64, 81.

- Si NOMBRE finit par 125, il est divisible par 125 quoi qu'il arrive. On n'a que 49 comme carré possible pour OM (on vire les pairs et ceux qui utilisent les chiffres 1, 2 ou 5), et NOMBRE est alors un multiple de 49*125 qui se termine par 125. Il est donc de la forme 49*125*(8k+1) soit 49000k+6125. Le seul de ce genre qui corresponde a ce qui est dit ci-avant est 349125, et il est divisible par 3.

- S'il se termine par 216, il faudra que NOM soit divisible par 27. Or 49 est le seul nombre possible pour OM, et aucun nombre de la forme 5OM n'est divisible par 27.

- S'il se finit par 512, il faudra que NOM soit divisible par 64, et 36 et 64 seront les deux seules valeurs possibles pour OM : deux conditions inconciliables.

- Il ne peut pas se finir par 729, car il faudrait que NOM fasse 729 lui aussi.

Donc 349125 est le seul nombre qui réponde aux critères donnés.

Je propose 349125

349125.

6 bonnes réponses depuis 23h00 bravo

Je dirais 349125.
N=3
O=4
M=9
B=1
R=2
E=5

349125 divisé par N = 116375
349125 divisé par OM = 7125
349125 divisé par BRE = 2793

OM = 49 (le carré de 7)
BRE = 125 (le cube de 5)

Merci.

Il n'y a qu'une seule bonne réponse : 349125.

BRE est un cube a 3 chiffres, donc il vaut : 125, 216, 343, 512, ou 729. On peut éliminer d'emblée 343 car tous les chiffres doivent être différents. Examinons les autres.

729
On doit avoir NOM729 divisible par 729, donc NOM000 (NOM x 1000). Et comme 1000 et 729 sont premiers entre eux, NOM doit être un multiple de 729 : impossible car NOM doit être différent de BRE. Donc pas de solution.

216
216 = 6^3 = 2^3 x 3^3. De la même manière, on doit avoir NOM divisible par 27. On cherche donc NOM multiple de 27 (donc de 9) avec OM carré, et chiffres différents de 0,1,2,6. Parmi les carrés à deux chiffres 16,25,36,49,64 et 81, seul 49 conviendrait. Or N49216 ne peut être divisible par 9 que si N=5, mais 549216 n'est pas divisible par 5. Donc pas de solution non plus.

512
512=2^9=8x64. Donc NOM x 1000 doit être divisible par 512 se traduit par NOM x 125 doit être divisible par 64. 64 et 125 étant premiers entre eux, NOM est un multiple de 64 : 128,192,256,320,384,448,512,576,640,704,768,832,896,960. Aucun ne convient car OM est un carré. Donc toujours pas de solution.

125
NOM125 est toujours divisible par 125, car 1000 est divisible par 125, donc cette condition est remplie. Les carrés possibles pour OM sont : 36,49 et 64. NOM125, impait, doit être divisible par OM, donc OM n'est pas pair. OM vaut donc forcement 49. Restent les valeurs 3,6,7,8. On teste ces 4 valeurs pour savoir si N49215 est divisible par 49, c'est possible uniquement pour N=3. Il n'y a donc plus qu'un seul espoir : 349125.

Vérifions !
349125 / 3 = 116375
349125 / 49 = 7125
349125 / 125 = 2793

Parfait, NOMBRE = 349125 !




Questions subsidiaires
1/ La condition "chiffres différents" est nécessaire pour l'unicité, car 125125 est aussi solution (ainsi que 525125). En autorisant les 0, c'est encore pire : 101001, 101008, etc...

2/ C'est un peu plus délicat. Déjà, a-t-on le droit de donner la valeur 0 à O et à B ? Avec des chiffres tous différents ?

On va imposer les chiffres différents, car sinon on sait déjà qu'on a plusieurs solutions.

Si B et O ne peuvent pas prendre la valeur 0, alors on se ramène à l'étude précédente, où on ne se sert pas de la condition "chiffres différents de 0", donc une seule solution.

Si B peut prendre la valeur 0, BRE peut prendre les valeurs 027 et 064
027 : N16027, N36027, N49027, N64027 et N81027 ne conviennent pas quel que soit N différent des autres.
064 : N25064 et N81064 ne conviennent pas.

Si O peut prendre la valeur 0, OM peut prendre les valeurs 01, 04 ou 09.
On élimine direct 729 pour BRE (voir démo du cas général), pareil pour 512 car on n'aurait pas OM carré. Reste 125 et 216.
01 : aucune possibilité sans répétition de chiffre
04 : on peut avoir N04125 ou N04216. On élimine direct N04125, car on n'aurait pas la condition divisible par 4. N04216 divisible par 216 implique N04216 divisible par 9, donc N=5, mais 504216 n'est pas divisible par 27.
09 : N09125 ou N09216. Dans le premier cas, on doit avoir N=1, mais répétition du chiffre 1. Dans le second, on doit avoir N=9, mais 909216 n'est pas divisible par 216.

Récap
La condition "chiffres différents" est nécessaire pour avoir l'unicité.
Dans ce cas-là, la condition "chiffres non nuls" est superflue, et l'unique solution est 349125

Allons-y:
Pour OM les possibilités sont:
16, 25, 36, 49, 64, 81
Pour BRE:
125, 216, 343, 512, 729. On vire 343 car deux fois le chiffre 3. Il reste:
125, 216, 512, 729
Ce qui nous donne pour OMBRE les combinaisons suivantes en enlevant les cas où un chiffre se répète:
16729
36125
36512
36729
49125
49216
49512
64125
64512
64729
81729
NOMBRE étant divisible par OM on supprime les cas où M est pair et E impair. Il reste:
36512
49125
49216
49512
64512
81729
Pour chaque cas il y a 4 possibilités pour N, soit 24 candidats pour la réponse.
Pour 49125 on enlève N=6 et N=8 car E est impair. De même, pour 81729 on enlève N=4 et N=6.
Il nous reste 20 candidats et je ne vois pas d'autres possibilités que de les tester.
C'est faisable à la main, mais peut-être ai-je oublié quelque chose.

Bonjour,
J'ai un petit soucis avec ce problème, mais comme certains ont déjà trouvé la réponse, je dois certainement avoir tord.
Mais voici: NOMBRE est au maximum égal à 999999 (et même moins puisque chiffres différents) et BRE est au minimum égal à 100 (et même plus puisque chiffres différents) et donc BRE^3 est au minimum égal à 1000000.
Dans ces conditions, comment BRE^3 peut-il alors diviser NOMBRE ?
A moins que B=0, ce qui est contraire aux hypothèses ?
Bonne journée.
Frank (moi c'est sans c)

Ouaou 14 bonnes reponses, les énigmes mathématiques ont la côte en ce moment.

Je viens de rajouter un peu de temps pour que les quelques personnes auxquelles j'ai envoyé un MP  aient l’opportunité de répondre avec la satisfaction qui va avec.