Enigme Je veux arriver le plus vite possible ! @ Prise2Tete

Azdod · #1

Un passager veut voyager du point A au point B; le point A est situé dans une forêt quelque part; alors il décide d'aller à pied jusqu'au point C ou il existe une route et à ce stade , il va prendre un bus jusqu'au point B.

le probleme est de définir la position du point C pour laquelle cet homme arrive le plus tôt possible à sa destination !
Indice : on considère la vitesse de marche et la vitesse de bus constantes et que la vitesse de bus > la vitesse de marche; et en plus que l'homme ne va pas attendre le bus dans le point C !

L00ping007 · #2

On va d'abord considérer que prendre le bus est nécessaire, on verra ensuite en fonction des données si c'est réaliste.
Notons D le point de l'angle droit du triangle, et x=CD.
Alors [latex]AC = \sqrt{AD^2+x^2}[/latex] (Pythagore)
Le temps t mis pour faire le trajet est donc, en notant vm la vitesse de marche et vb la vitesse du bus :
[TeX]t=\frac{\sqrt{AD^2+x^2}}{v_m}+\frac{BD-x}{v_b}[/latex] temps pour faire AC à pied puis CB en bus
On cherche à minimiser ce temps, en annulant sa dérivée par rapport à x
[latex]\frac{dt}{dx}=\frac{x}{v_m\sqrt{AD^2+x^2}}-\frac1{v_b}[/TeX]
[TeX]\frac{dt}{dx}=0 \Leftrightarrow \frac{x}{v_m\sqrt{AD^2+x^2}} = \frac1{v_b}[/TeX]
[TeX]\frac{dt}{dx}=0 \Leftrightarrow \frac{x^2v_b^2}{v_m^2} = AD^2+x^2[/TeX]
On a donc t qui est minimum pour
[TeX]x=\frac{AD}{\sqrt{(\frac{v_b}{v_m})^2-1}}[/TeX]
Si cette valeur est supérieure à BD, alors on ne prend pas le bus et on va directement de A à B en marchant.

fred101274 · #3

Il manque à mon avis pas mal de données dans ton problème.

Toutefois, si on appelle D le sommet de l'angle droit du triangle rectangle, et si on suppose que le passager ne doit pas attendre le bus lorsqu'il arrive en C, alors la solution est la suivante :

la distance CD vaut [latex]\frac{AD v}{sqrt(v'^2 - v^2)}[/latex]

où v correspond à la vitesse du passager à pied et v' la vitesse du bus.

On suppose évidemment que le bus va plus vite que le passager à pied...
Dans le cas contraire, il doit aller directement en B.

dhrm77 · #4

Ton bus resemble a un tapis roulant...

Azdod · #5

L00ping007 : peut tu préciser les calculs svp ?

bzhbea29 · #6

Ac=cb

Azdod · #7

Bravo L00ping007 ;fred101274 : vous avez raison !

fred101274 · #8

Tu sais que tu peux me tutoyer...

mitsuidewi · #9

Soit x la distance BC, pour trouver la distance x idéale, on doit établir l'équation donnant le temps f(x), et calculer le x tel que df/dx=0

On a donc :
[TeX]f(x)=\frac{AC}{v_m}+\frac{x}{v_b}\\
=\frac{x}{v_b}+\frac{\sqrt{(BD-x)^2+AD^2}}{v_m}\\

\frac{df}{dx}=\frac{1}{v_b}+\frac{x-BD}{v_m\,\sqrt{(BD-x)^2+AD^2}}\\

\frac{BD-x}{\sqrt{(BD-x)^2+AD^2}}=\frac{v_m}{v_b}\\
\frac{(BD-x)^2}{(BD-x)^2+AD^2}=\frac{v_m^2}{v_b^2}\\
\Rightarrow \, x^2-2xBD+BD^2-\frac{v_m^2 AD^2}{v_b^2-v_m^2}=0[/TeX]
On résout le polynôme du 2nd degré :
[TeX]Soit F=\frac{v_m^2 AD^2}{v_b^2-v_m^2}\\

\Delta = 4BD^2-4(BD^2-F)\\
=4F\\

x_1=BD+\sqrt{F}\\
x_2=BD-\sqrt{F}\\

[/TeX]
Comme [latex]x_1[/latex] est une distance qui "sort" du triangle, on retient [latex]x_2[/latex]

Donc la distance pour laquelle le temps sera minimal est :
[TeX]BC=BD-\frac{v_m AD}{\sqrt{v_b^2-v_m^2}}[/TeX]
Cela laisse donc supposer que l'on sait exactement à quelle distance se trouve le point D

gasole · #10

sofox · #11

ce qui me chiffonne, ce que l'on ait pas de rapport entre vitesse de marche et vitesse en bus ... si je suppose que la vitesse en bus est très supérieure à la vitesse de marche, je pense que le plus rapide est de rejoindre la route au plus vite ( la perpendiculaire à la route qui passe par le point A ) ; la partie du trajet effectuée en bus ( C -> B ) compensera la longueur totale du trajet ( A -> C -> B )

EDIT : à la lecture du post ci-dessous, effectivement, j'ai fait une simulation vite fait, et effectivement, j'ai tout faux ! Mes bagages mathématiques ( mon crayon et ma règle ? ) risquent d'être insuffisants pour trouver la démonstration...

Azdod · #12

@sofox même si la vitesse du bus sera énormément supérieure à celle du marche; le triange ABC ne sera jamais rectangle en C ! (mathématiquement )

kosmogol · #13

Dan a raison, tu ferais mieux de parler d'un tapis roulant plutôt qu'un bus qui pose les problèmes de passage, d'arrêt...

fred101274 · #14

En fait, je pose souvent cette question à mes élèves, mais pour éviter le problème du bus "tapis roulant", le personnage court tout le temps... il a simplement une vitesse sur la route qui est plus élevée que celle en forêt. Le but est de rejoindre l'arrêt de bus en B le plus rapidement possible.

mitsuidewi · #15

gasole tu es prof ou tu as un tableau chez toi ??
trop la classe ^^

J'ai toujours rêvé d'en accrocher un chez moi mais comme je suis SDF ben je peux pas.

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#1 - 01-02-2011 20:05:55

je veux arrover le plus vite possible !

#0 Pub

#2 - 01-02-2011 20:31:28

je veux aeriver le plus vite possible !

#3 - 01-02-2011 20:34:04

je veux arriver le plud vite possible !

#4 - 01-02-2011 21:26:42

Je veux arriver le plus vite posssible !

#5 - 01-02-2011 21:30:01

Je veux arriver le plus vite pssible !

#6 - 01-02-2011 22:03:31

je vzux arriver le plus vite possible !

#7 - 01-02-2011 22:22:01

je veux arriver le plus vote possible !

#8 - 02-02-2011 13:58:23

Je veux arriver le plus vite possible !!

#9 - 03-02-2011 08:01:25

je veux artiver le plus vite possible !

#10 - 03-02-2011 13:38:47

Je veux arriver le lus vite possible !

#11 - 03-02-2011 15:38:16

Je veux arriver le plus vitte possible !

#12 - 03-02-2011 16:52:27

je veux arriver lz plus vite possible !

#13 - 04-02-2011 21:01:13

Je veux arriver le plus vite possbile !

#14 - 04-02-2011 21:10:43

Je veeux arriver le plus vite possible !

#15 - 10-02-2011 12:21:21

Je veu xarriver le plus vite possible !

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