J'ai inventé ça il y a bien longtemps lorsque j'étais en terminale et ça m'est revenu récemment lors d'une discussion sur ce sujet

Moi à 23h je ne me rappel même plus où sont mes lunettes.

Le volume d'un cylindre étant de Pi/4n^2, le volume total est donc de [latex]\frac{\pi}{4} \sum^\infty \frac{1}{n^2}[/latex], qui converge vers [latex]\frac{\pi^2}{24}[/latex]

La surface d'un cylindre est de Pi/n, la surface totale est donc de [latex]\pi \sum^\infty \frac{1}{n}[/latex] qui diverge: surface infinie donc

Je ne suis pas rivé devant mon ordi, j'ai juste fait ma petite visite de P2T "avant le coucher" au moment où tu postais ton énigme

Le volume se calcule en sommant les volumes de chaque cylindre de hauteur h et de rayon [latex]\frac1n[/latex]
[TeX]V = \sum_{n=1}^{+\infty}h\pi (\frac1n)^2[/TeX]
On obtient (après correction de la petite boulette)  [latex]V = \frac{\pi^3}{6}[/latex]


Pour la somme, je calcule la somme jusqu'à N seulement (je sens venir l'infini ...) des volumes intérieurs des cylindres de hauteur h et de rayon [latex]\frac1n[/latex]
[TeX]S_N=\sum_{n=1}^Nh.2\pi\frac1n[/TeX]
et [latex]S_N=2\pi h\sum_{n=1}^N\frac1n[/latex] qui tend vers l'infini quand N tend vers l'infini.

Notre entonnoir a donc un volume fini, alors que sa surface est infinie ! Je vois poindre le bout du nez d'un paradoxe, ici

Curieux, je cherche un peu et tombe sur cette page, qui évoque la version continue de ton entonnoir, inventée par Torricelli au XVIIème et qu'il nomma Trompette de Gabriel.

Nous sommes choqués par l'idée d'un objet ayant un volume fini, mais une surface infinie, car pour nous la notion de surface est liée à la quantité de peinture qu'il nous faudrait pour recouvrir entièrement l'objet. Alors comment se peut-il que nous puissions remplir le volume avec une quantité finie de peinture, mais que pour le peindre, il nous en fasse une infinité ?

Tout simplement parce qu'à partir d'un certain moment, nous ne pouvons plus peindre ! Le rayon du cylindre devient trop petit comparé à l'épaisseur (forcément non nulle) de notre couche de peinture Pendant que nous nous arrêtons de peindre, le volume continue indéfiniment.

Oui, indéfiniment en surface, et même en longueur, et c'est un second paradoxe qui a beaucoup perturbé les savants de l'époque. Comment un solide de longueur infinie pouvait avoir un volume fini ?


Notons qu'à l'époque, le calcul intégral n'existait pas encore (merci Newton/Leibniz), et donc dans sa version continue, Torricelli a du appliquer la méthode des indivisibles pour calculer volume et surface. Cette méthode inventée par son maître Cavalieri est en fait précurseur du calcul infinitésimal.



Merci pour cette petite énigme qui m'a appris plein de chose

Les séries de Riemann s’écrivent ainsi :
[TeX]S_\alpha=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^\alpha}[/TeX]
La surface intérieure des tonneaux est [latex]2\pi S_{\alpha=1}[/latex], résultat proportionnel à la suite harmonique qui diverge.

Le volume intérieure des tonnes est égal à [latex]\pi S_{\alpha=2}[/latex], résultat qui converge vers [latex] \frac{\pi^3}{6}[/latex].

Donc, pour un volume borné, la surface peut être infinie...

Je laisse aux autres les élucubrations autour de ce paradoxe.

Personnellement, je connais. Je vais me contenter de gloser

Alors, on essaie de fabriquer des instruments de musique bizarres ? : http://fr.wikipedia.org/wiki/Trompette_de_Gabriel

Pour la pensée finale, je dirais que l'analogue en dimension inférieure est "peut-on enfermer une surface finie dans un périmètre infini ? Et la réponse est oui bien sûr, il n'y a qu'à considérer la surface sous le graphe de la fonction f(x)=exp(x) entre 0 et 1.

Mais même avec une courbe fermée, c'est possible, c'est ce que permettent les fractales (le flocon de Koch ferait l'affaire. Et ce flocon en 3D permet d'enfermer un volume fini dans une surface infinie FERMÉE ce que n'est pas la trompette de Gabriel !

En revanche (comme dit dans l'article wikipedia), il est impossible d'enfermer un volume infini dans une surface finie.

Bonne réponse d'halloduda qui me fait remarquer une erreur dans l'énoncé (que m'a aussi fait remarquer scarta par MP). Je l'ai corrigée et on ne parle plus que de rayons. Cela ne change que le résultat numérique de Q1 et Q2 mais pas la nature du problème.

@halloduda: Le résultat reste quand même paradoxal au premier abord et perturbe l'intuition. On peut lever le paradoxe par un raisonnement mathématique évidemment.

Bonjour,
En effet, V=pi x somme (1/n2) qui est convergent et S = 2 x pi x somme (1/n) qui est divergent (et "encore plus" car S est "sous-évaluée"): nous avons donc un volume fini dans une surface infinie.
Au lycée, j'avais un "cauchemar" similaire: je prend un parallélipipède "unitaire" 1 x 1 x 1 (on appelle ça un cube, je crois) et, à chaque étape je l'allonge 4 fois en divisant par 2 ses deux autres côtés: le volume ne change pas (=1), mais la surface enveloppe tend vers l'infini.
Bonne journée.
Frank

Pour le volume : Pi³/6
Pour l'aire : l'infini

On a donc un volume fini et une aire infinie, je suppose que c'est le paradoxe.
Ca me fait penser aux fractales qui ont souvent ce comportement.

Bonne réponse des derniers participants.

Le paradoxe apparent (car ce n'en est pas un en réalité) est qu'on pourrait remplir ce volume de peinture et même le faire déborder sans pourtant avoir assez de peinture pour en couvrir les faces.

De bonnes réponses expliquent pourquoi, je ne répeterai donc pas.

Merci pour les liens sur la trompette de Gabriel.

Qui pourrait donner un exemple simple à concevoir en dimensions 3 et 4? Un volume de dimension 3 infini dans une volume fini en dimension 4? Je n'arrive pas à trouver une représentation simple?

Merci d'avoir participé.

C'est malin, j'ai un torticolli maintenant

Dans un espace de dimension 4: X,Y,Z,T (temps).
Plus sérieusement: Est-ce qu'un volume infini qui n'existe qu'entre 2 instants t1 et t2 répond à la question? J'aurais tendance à dire oui mais c'est délicat. J'atteins mes limites abstractives...

@gasole: Merci pour ce lien.
J'en ai regardé des petits morceaux, ça a l'air très pédagogique. Je regarderai tout ça.

Je ne suis pas sûr de ta phrase: en 3D, le flocon 3D fait l'affaire. Pour moi un flocon 3D est une surface, donc de la D2 dans un espace 3D.

L'idée de l'hyper-tetraèdre est plus sympa mais aussi un peu délicate à visualiser, d'où ma question sur le temps...