Je trouve celui-là : 1111213141516171819
(11-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8 1-9)

Mais apparemment cela ne suffit pas !

Par ailleurs, petite coquille dans ton énoncé, c'est 313 er non 131.

J'en ai trouvé d'autres, mais plus petits :
2132231x avec x allant de 4 à 9
1011113141516171819 (1-0 11-1 1-3 ...)

Voila trois grands points fixes:

101111213145161718
1111213141516171819
101112213141516171819 qui a de bonnes chances d’être le plus grand car decrit les dix chiffres ! c'est validé.

J'ai noté une erreur mineure dans l’exemple de l'énoncé : C(331) not C(131).

Merci Vasimolo pour cette énigme sympa

J'ai un nombre:
1111213141516171819
Il ne donne pas la bonne réponse donc ce n'est pas le plus grand.
Je veux juste savoir si ce nombre est correct selon ta définition. (parce que j'ai onze fois le nombre 1)

Finalement j'ai trouvé:
101112213141516171819
Mais faut-il montrer qu'il n'y en a pas au dessus?

Tant qu'a viser un point fixe, je pense a un nombre qui contienne chaque chiffre. Il donnerait donc son propre nombre de 0, de 1, etc. jusqu'a 9, ce qui lui donnerait vingt chiffres.

Et, hop, l'outil d'autoréférence de Dcode :

Cette phrase contient exactement ? fois le chiffre 0, ? fois 1, ? fois 2, ? fois 3, ? fois 4, ? fois 5, ? fois 6, ? fois 7, ? fois 8 et ? fois 9.

donne

1 fois 0
7 fois 1
3 fois 2
2 fois 3
1 fois 4
1 fois 5
1 fois 6
2 fois 7
1 fois 8
1 fois 9

donc 10713223141516171819 est un point fixe de la fonction, et très probablement le plus grand. Sauf que ma réponse n'est pas validée... Y aurait-il plus grand encore ? oO'

Je sais : on peut ajouter un chiffre !

101112213141516171819 marchera peut-être mieux ? Oui ! Yeah !

Il aurait été subtil de dire 10manche

Bonne réponse de Mathias et gasole

gasole a écrit:

Ok, j'ai trouvé, ça valide mais j'avais mis hors jeu ce genre de réponse ... blablabla ... Objection votre honneur !

Tu mets hors jeu qui tu veux et tu objectes tout ce que tu veux mais il n'y a pas d'ambiguité dans la question

Vasimolo

C'est vrai, l'énoncé ne précisait pas que C doive être injective (modulo l'ordre des chiffres)... Mea ultima culpa.

"Objection votre honneur!" était une formule destinée à provoquer un effet comique par l'évocation, saugrenue dans le contexte, du monde judiciaire où elle est couramment employée en qualité d'acte de langage de type obligatif-directif, mais qui ne saurait dans la situation présente prétendre au moindre effet perlocutoire, bien entendu.

J'adore jargonner

Bon ok, la réponse est 101112213141516171819
Quant à savoir si c'est la meilleure...
Oui ça l'est !!!

Démonstration

Supposons qu'il existe un point fixe de k chiffres, k >= 21. On a deux cas:
On appelle N la fonction qui a X associe le nombre de chiffres de X, autrement dit N = E(log(X))+1

- soit il contient tous les chiffres de 0 à 9 au moins une fois.
Dans ce cas, il est de la forme [latex]a_00a_11a_22a_33a_44a_55a_66a_77a_88a_99[/latex], avec les [latex]a_i[/latex] des nombres de 1 chiffre ou plus.
On sait que
1°) [latex]\sum_{i=0}^9a_i=k[/latex]
2°) [latex]\sum_{i=0}^9N(a_i)=k-10[/latex]
Le point 1 découle du fait qu'il doit y avoir k chiffres dans notre point fixe, donc en additionnant le nombre d’occurrences de chaque chiffres, on tombe sur k
Le point 2 découle aussi du fait qu'il doit y avoir k chiffres dans notre point fixe : si on ôte les 10 chiffres de 0 à 9 de notre écriture, il doit en rester k-10

Soit q le nombre de [latex]a_i[/latex] qui sont inférieurs à 10 et ne s'écrivent donc qu'avec un seul chiffre. On remarque que q <10, sinon [latex]N(a_i)=1[/latex] et k-10 = 20, ce qui est contraire à notre hypothèse.

Pour écrire les [latex]a_i[/latex] de plus d'un chiffre, il faut donc avoir recours à k-10-q chiffres. Parmi ceux là 10-q seront des chiffres d'unité (puisque ces [latex]a_i[/latex] particuliers sont au nombre de 10-q)
Les chiffres des dizaines (voire plus, centaines, milliers, ...) sont donc au nombres de k-10-q-10+q = k-20

Et donc, le moment le plus important :


... (suspense...)
[TeX]k = \sum_{i=0}^9a_i \geq (k-20)*10+q[/TeX]
(Explications: q nombres d'un chiffre non nuls et k-20 chiffres qui correspondent au moins à des dizaines. Leur somme est donc supérieure à 10*(k-20) + q)
Dans ce cas k <= 22.2222 -q/9
Si k=22, alors 22 <= 22.222-q/9 et donc q<=2, ce qui signifie que la somme k vaudrait donc au minimum 82 et non pas 22. Pour 21, on va voir plus bas que c'est ok; mais on va d'abord clore notre autre cas.

- soit il ne contient pas tous les chiffres de 0 à 9 au moins une fois.
Le même raisonnement reste valable (c'est même pire, 21 n'est plus une solution dans ce cas)


Revenons à notre fameux 21

Si k=21, alors 21 <= 22.2222 -q/9, donc q <=11. C'est super ok (ben oui, q ne peut pas dépasser 10 tel qu'on l'a défini)
D'ailleurs, pour k=21; on a une solution: 101112213141516171819

Est-ce la meilleure ?
On sait que l'un des [latex]a_i[/latex] fait au moins 2 chiffres, les autres 1 seul.
Si un [latex]a_i[/latex] vaut 10 ou plus, la somme des 9 autres vaut 11 ou moins. Si 3 d'entre eux était supérieurs à 2 ou égaux à 2, la somme des 6 autres serait de 5, ce qui est impossibles (6 entiers non nuls sommés font au moins six).
Donc au plus 2 [latex]a_i[/latex] parmi les 9 valent 2, les 7 autres valent donc 1.
Donc [latex]a_1 \geq 7[/latex]. De là, il s'ensuit que [latex]a_1[/latex] est nécessairement le [latex]a_i[/latex] de 2 chiffres.

Cas [latex]a_1 = 10[/latex]
Dans ce cas [latex]a_0[/latex] vaut au moins 2.
> [latex]a_0 = 2[/latex] ===> Dans ce cas, [latex]a_2[/latex] vaut au moins 2
> > [latex]a_2 = 2[/latex]. Dans ce cas, [latex]a_0+a_1+a_2 = 14[/latex], donc la somme des 7 autres fait 7, donc chacun des 7 autres fait 1, mais 201012213141516171819 n'est pas un point fixe

> > [latex]a_2 \geq 3[/latex] : c'est pire: car la somme de 7 entiers non nuls devrait faire 6...

> [latex]a_0 = 3[/latex], dans ce cas [latex]a_0 + a_1 = 13[/latex], la somme des 8 autres fait 8, donc chacun des 8 autres fait 1, mais 301011213141516171819 n'est pas un point fixe

> [latex]a_0 \geq 4[/latex], la somme de 8 entiers non nuls devrait faire 7...

Cas [latex]a_1 = 11[/latex]
> Tous les autres [latex]a_i[/latex] valent 1: la somme fait 20
====> un autre [latex]a_i[/latex] au moins fait 2 ou plus.
> Un autre [latex]a_i[/latex] fait plus de 2. Dans ce cas, la somme des 8 autres a_i devrait faire 7 ou moins, c'est pas bon
====> hormis [latex]a_1[/latex], aucun autre [latex]a_i[/latex] ne fait plus de 2

Dans ce cas, un autre [latex]a_i[/latex] vaut 2, et donc [latex]a_2[/latex] vaut au moins 2.
Il s'ensuit donc que [latex]a_2 = 2[/latex] et que le point fixe est
101112213141516171819

Enfin, juste pour finir la démo proprement
[TeX]a_1 = 12[/TeX]
Dans ce cas, tous les autres [latex]a_i[/latex] valent 1. On se contentera de remarquer que 101211213141516171819 n'est pas un point fixe
[TeX]a_1 \geq 13[/TeX]
Dans ce cas, la somme des [latex]a_i[/latex] vaut au moins 13+9 = 22


Conclusion : le plus grand point fixe est 101112213141516171819
C'est par ailleurs le seul point fixe de 21 chiffres.
CQFD

Je propose 101112213141516171819

Quel idiot il me manquait que le 22 au milieu de mon nombre
Qui a le courage de se lancer dans la magistrale demo de sacra ? Impressionnant !

La démo est pas très compliquée.
Dans les grandes lignes c'est
1) Montrer qu'aucun point fixe ne peut avoir 22 chiffres ou plus
2) Montrer que pour 21 chiffres, il n'en existe qu'un