1/10

Comme je vois pas comment faire, je vais faire compliqué.^^

Soit A, B et C les sommets du triangles équilatérales et a son coté

(pas besoin de les identifier d'avantages puisque le problèmes est symétrique)
L'air de l'hexagone vaut 6 x l'air du triangle défini par les hauteurs passant par A et B, que je nomme Ha et Hb, et par un des segment passant par C et coupant AB en trois. Prenons le segment supérieur que je nomme Sc.

J'ai 3 droites dont une verticale. Je doit trouver les expressions de deux d'entre elles et l'abscisse d'une intersection, que je nomme i, pour pouvoir intégrer le bazar.

Ha et Hb vallent rac(3) a/2
Ceci permet de trouver l'angle @ que fait Sc avec la hauteur Hc passant par C.

tan @ = (a/6) / (rac(3) a/2) = rac(3) / 9
@ = arctg rac(3)/9 = 10,8933°

L'angle que Sc fait avec l'horizontale vaut donc 60°+@ = 70,8933°.

Sc : R -> R : x -> tg (70,8933) x
Hb : R -> R : x -> a rac(3) - rac(3) x
[TeX]Aire = \int^{\frac{a}{2}}_{i} (Sc(x)-Hb(x))dx[/TeX]
Y a plus qu'à trouver i.

i est l'intersection de Sc et Hb.
tg(70,8933) x = a rac (3) - rac(3) x
x = a rac(3) / (tg(70,8933)+rac(3)) = 3/8 a

Ce qui donne:
[TeX]Aire = \int^{\frac{a}{2}}_{\frac{3}{8} a} ((tg(70,8933)+\sqrt{3}) x -sqrt{3}a)dx[/TeX]
[TeX]Aire = [(tg(70,8933)+\sqrt{3}) \frac{x^2}{2} -sqrt{3}ax]^{\frac{a}{2}}_{\frac{3}{8} a}= 0,0361 a^2[/TeX]
L'aire du triangle vaut rac(3)a² / 4.

L'aire grisé fait 8,33% de la surface du triangle.

A mon avis, il y a plus simple, mais j'ai pas trouvé. ^^

Mon ami Géogebra me donne 1/10. Reste à le prouver.

Traçons les hauteurs et le triangle equilatéral qui relie les pieds de ces hauteurs. Alors le point d'intersection des hauteurs est au 1/3 de la hauteur en partant de la base. Le triangle intérieur à les mêmes hauteurs et le sommet supérieur de l'hexagone est sur le pied de ce triangle intérieur donc le "diamètre" de l'hexagone est de 1/2*2/3=1/3 ce qui ne permet de conclure pour l'instant, mais en déterminant les angles ont aura la surface.
Je trouve 3 triangles égaux dont un côté est 1/6 et d'angles adjacents pi/3 (60°) et 5pi/18 (50°) les 3 autres triangles égaux donnant le même côté et des angles adjacents pi/3 (60°) et 7pi/18 (70°). Il y a donc une belle petite formule pour trouver cette aire...
[TeX]\frac{\sqrt{3}}{24} \ \frac{1+sin(\frac{\pi}{8})}{sin(\frac{3\pi}{8})}[/TeX][TeX]\frac{\sqrt{3}}{24} \ \frac{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}
[/TeX]
Je ne suis pas sûr car les formules que j'ai utilisées supposent que la sommes des angles est inférieur à un angle plat.

Et la bonne réponse était ?

A priori, il a dit qu'halloduda avait la bonne réponse (sinon il ne songerait pas à le prendre comme testeur), c'est-à-dire 1/10

J'ai une solution par simple découpage mais il va falloir attendre un peu pour la mise en forme

Vasimolo

Je n'ai pas voulu trop surcharger le dessin , j'espère que les explications seront suffisantes .



La partie grisée de la figure de Saint-Pierre est constituée d'un triangle équilatéral rouge et de six triangles rectangles bleus .

On a :

Bleu + Vert = 25 Bleu ( agrandissement )
2 (Bleu + Vert ) = 5 Rouge ( quatre triangles rouges plus deux moitiés )

Donc Rouge = 10 Bleu .

La portion de Saint-Pierre :

SP= Rouge + 6 Bleu = 8/5 Rouge .

Or Rouge = 1/16 Total donc SP = 1/10 Total .

Vasimolo