Enigme Points entiers sur un cône y²+z²=7x² @ Prise2Tete

Yanyan · #1

Étudiez les points de coordonnées entières du cône d'équation y²+z²=7x².

Bon travail.

ksavier · #2

Par l'absurde, supposons qu'il existe un triplet non nul (x,y,z) vérifiant :
[TeX]y^2+z^2=7x^2[/latex] [latex](E)[/TeX]
Sans perdre en généralité, on peut toujours supposer que PGCD(x,y,z)=1.

En projetant dans le corps [latex]Z/_{7Z}[/latex], on a :
[TeX]x^2+y^2 = 0[/TeX]
Or les carrés de [latex]Z/_{7Z}[/latex] sont {0,1,2,4}.
On en conclut que x²=0 et y²=0. Donc x=0 et y=0.

bref, de retour dans [latex]Z[/latex], y et z sont des multiples de 7.
D'après (E), on en conclut que x² est un multiple de 7 et donc x aussi.

Absurde ! (car PGCD(x,y,z)=1)

Conclusion : (E) n'admet aucune solution entière.

On doit même pouvoir prouver que si p=2 ou p premier non congru à 1 modulo 4 alors le cône z²+y²=px² est sans solutions entières non triviale.

rivas · #3

Il existe un cas particulier, le point origine (0,0,0) qui est sur le cône (merci YanYan pour ton MP).
Dans la suite, je suppose qu'au moins une des coordonnées est non-nulle.

Ce cône ne peut comporter de points donc les coordonnées sont toutes 3 entières (hormis (0,0,0)). Démontrons le par l'absurde.

Supposons que 3 nombres entiers x, y et z, dont au moins un différent de 0, et vérifiant cette égalité existent.
Puisqu'on parle d'entiers, on peut regarder cette égalité modulo 7.
Le terme de droite vaut alors toujours 0.

Regardons les carrés modulo 7.
0 est congru à 0 modulo 7
1 -> 1
2 -> 4
3 -> 2
4 -> 2
5 -> 4
6 -> 1

Ensuite comme d'habitude [latex](n+7)^2=n^2+7(2n+7)\equiv n^2 [7][/latex]
Les carrés sont donc congrus à 0, 1, 2 ou 4 modulo 7.
Donc la somme de 2 carrés est congrue à 0 modulo 7 si et seulement si les 2 carrés (donc les 2 nombres eux-mêmes car 7 est premier) sont congrus à 0 modulo 7.
Posons alors x=7x' et y=7y'.
L'égalité devient:
[TeX]7^2(x'^2+y'^2)=7z^2 \Leftrightarrow 7(x'^2+y'^2)=z^2[/TeX]
z est donc divisible par 7. Posons z=7z'.
L'égalité devient:
[TeX]7(x'^2+y'^2)=7^2z'^2 \Leftrightarrow x'^2+y'^2=7z'^2[/TeX]
Soit la même égalité que l'égalité initiale mais avec tous les nombres divisés par 7.

L'argument de la descente infinie (applicable puisquau moins 'un des entiers est non nul) permet de conclure que c'est impossible et que donc il n'existe pas de points à coordonnées (toutes) entières sur ce cône (hormis (0,0,0)).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Descente_infinie

Merci pour cette énigme. Ca m'a fait plaisir de trouver.
Ca semblait vraiment abstrait lors de la première lecture mais l'énigme récente sur la somme de 3 entiers modulo 8 m'a mise tout de suite sur la piste.

Jackv · #4

Je pense que cette équation n'admet pas de solution avec 3 entiers.
Mais comment le prouver ...

halloduda · #5

Il n'y a pas de solution autre que x=y=z=0.

On s'intéresse aux points tels que x, y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble, les autres étant leurs homothétiques.
La relation fait que x, y et z sont également premiers deux à deux, tout diviseur commun à x et y divisant z.

x² modulo 7 ne peut valoir que 0, 1, 2 ou 4.
(x²+y²) modulo 7 ne peut valoir 0 que si x² et y² modulo 7 valent 0.
7 serait alors diviseur de x et de y, contradiction.

Franky1103 · #6

Bonjour,
Je sais seulement 2 choses:
1°) L'origine de coordonnées (0;0;0) est solution , mais c'est vraiment trivial.
2°) Ce problème avait marqué Yanyan en maths spe, donc la démonstration doit être coton: bonne chance à tous.
Bonne journée.
Frank

Yanyan · #7

Non Franky c'est un problème de spé math (terminale S) pas un problème de math spé. Et si il m'a marqué c'est pour une raison obscure, pas parce que c'est coton à résoudre.

papiauche · #8

Pour éviter la méprise du problème des matrices, on travaille sur [latex]Z[/latex], et pas ailleurs.

Petit lemme:
[TeX]y^2+z^2[/latex] est un multiple de 7, donc y et z sont multiples de 7.

Pourquoi?
A la Vasimolo, modulo 7 les carrés des entiers sont dans {0;1;2;4}
Il nous faut un donc un couple (0,0) pour satisfaire la congruence.

Ensuite:

On pose [latex]y= 7y'[/latex] , [latex]z = 7 z'[/latex].

Il vient:
[latex]7(y'^2+z'^2) = x^2[/TeX]
On pose donc: [latex]x = 7x'[/latex] pour obtenir:
[TeX]y'^2+z'^2= 7 x'^2[/TeX]
On itère la méthode.
La suite des divisions par 7 de x est finie par construction, ce qui implique que l'équation se pose alors avec un x non multiple de 7.
On est obligé alors de conclure que [latex]x= 0[/latex].

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tho … te_infinie

On arrive au fait que la seule solution est le sommet du cône, soit (0,0,0).

Et hop!

gefrezne · #9

La seule solution est (0;0;0) grâce au théorème de la descente de Fermat ... Et moi j'avais pas ça en spé maths ^^

Yanyan · #10

Bravo à tous.

Pour ceux qui seraient gênés par la descente infinie il suffit de considérer le triplet possédant le plus petit entier en valeur absolue, qui a ses coordonnées entières et vérifie l'équation (ensemble non vide) et l' on voit que ce triplet est nul car le plus petit entier considéré est infiniment divisible par 7.

MthS-MlndN · #11

Je ne connaissais pas cet argument de la descente infinie. C'est joli, j'aime bien

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#1 - 29-05-2011 18:45:00

points entiers sur un cônz y²+z²=7x²

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#2 - 29-05-2011 22:30:39

Points entiers su un cône y²+z²=7x²

#3 - 30-05-2011 10:13:36

Points entiers sur un cône y²+z=7x²

#4 - 30-05-2011 18:38:35

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#11 - 02-06-2011 22:31:08

points entiers sur ub cône y²+z²=7x²

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