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#1 - 01-06-2011 20:59:50
- ksavier
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domme de quelques cubes
Soyez indulgent, ceci est ma première énigme.
Un exemple : on peut décomposer le nombre 2012 avec une somme de 7 cubes : [TeX] 2012 = 10^3+10^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3[/latex]. Mais on peut faire mieux: [latex]2012 = 11^3+8^3+8^3+(-7)^3[/TeX] Voici la question : Quel est le plus petit entier naturel [latex]n[/latex] qui vérifie :
Il existe [latex]n[/latex] entiers relatifs [latex]a_1, a_2, ..., a_n[/latex] tels que [TeX]a_1^3+a_2^3+ ... + a_n^3 = 2011^{2010^{2009^{...^{2^{1}}}}}[/TeX]
#2 - 01-06-2011 21:46:07
- Alexein41
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#3 - 01-06-2011 22:26:16
- irmo322
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Somme de uelques cubes
n=1 car 2010 est divisible par 3.
#4 - 01-06-2011 22:37:52
- Bamby2
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somme de quzlques cubes
EDIT bon j'ai trop de mal a manier les puissances ! [TeX](a^{\frac{b}{3}})^3 = a^b[/TeX] on remarque que ici [latex]b=2010^{2009^{{...}^2}}[/latex] or 2010 est un multiple de 3, donc élevé a une puissance, ca reste un multiple de 3. donc b/3 est entier, donc [latex]a^b[/latex] aussi, on a notre unique solution.
#5 - 02-06-2011 08:41:56
- Yanyan
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Somme ed quelques cubes
Je dirais n=1 car le nombre considéré vaut [latex]2011^{...{3^{2}}}[/latex] et [latex]3^2[/latex] est divisible par 3.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#6 - 02-06-2011 09:04:34
- gwen27
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Sommme de quelques cubes
1 puisque ce nombre 2011^2010^2009...^4^3^2^1 est le cube de 2011^2010....^4^2^1
Bon, alors avec les priorités
2011^2010^2009......^5^4^3^2^1 est un cube vu que 2010 est multiple de 3
2010 ^(2009^2008...^2^1) est aussi multiple de 3
2011^2010^2009......^5^4^3^2^1 = 2011^[2010^(2009......^5^4^3^2^1-1)x670]^3
#7 - 02-06-2011 09:11:40
- Klimrod
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somme de quelqued cubes
Bonjour,
Voici ce que j'ai trouvé sur Internet :
a) tout nombre entier est décomposable en somme d'au plus 9 cubes positifs. Les deux seuls qui nécessitent les 9 termes sont : [TeX]23 = 2 * 2^3 + 7 * 1^3[/TeX] [TeX]239 = 2 * 4^3 + 4 * 3^3 + 3 * 1^3[/TeX] b) tout nombre entier est décomposable d'une infinité de manière en somme d'au plus 5 cubes positifs ou négatifs.
c) tout entier qui ne laisse pas un reste de 4 ou 5 lors d'une division par 9, peut se décomposer en somme de 4 cubes positifs ou négatifs.
Mais ne me demande pas de démontrer tout ça...
Pour en revenir à ton problème, vu que ton nombre, aussi astronomique qu'il soit, est un cube (car 2010 est un multiple de 3), le nombre [latex]n[/latex] que tu cherches est 1.
En effet, le nombre astronomique peut s'écrire [latex]2011^{3k^{k'}}[/latex]
Très bonne question, n'hésite pas à en poser d'autres... Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#8 - 02-06-2011 09:17:57
- ksavier
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somme de quelques cuves
Sur plusieurs réponses proposées je vois une petite confusion. Je me dois donc de lever toute ambiguïté. Par exemple : Les priorités opératoires donnent : [TeX]7^{2^{3}}=7^8[/TeX] Ce qui est différent de : [TeX](7^2)^3=7^6[/TeX] J'espère que cela va vous permettre de prendre ce problème par le bon bout de votre pensée.
#9 - 02-06-2011 11:16:02
- halloduda
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Some de quelques cubes
La réponse est 1 car 2010 à une puissance quelconque est un multiple de 3, de ce fait, 2011 est élevé à une puissance multiple de 3.
#10 - 02-06-2011 22:28:40
- MthS-MlndN
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Sommme de quelques cubes
[TeX]2011^{2010^{...^{4^{3^{2^1}}}}} = \left( 2011^{2010^{...^{4^{3}}}} \right)^3[/TeX] Donc n=1
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#11 - 03-06-2011 08:50:26
- nodgim
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Sommme de quelques cubes
Ce nombre est un cube.... Sinon, n'importe quel nombre est somme de 4 cubes algébriques, et à partir d'un certain nombre entier, tout nombre est somme de 4 cubes naturels. En revanche, l'ensemble des nombres somme de 3 cubes algébriques n'est pas N. Plus généralement, pour être certain qu'un nombre n suffisamment grand soit somme de puissances de m d'entiers, il faudra utiliser m+1 termes.
#12 - 04-06-2011 21:14:28
- ksavier
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Somem de quelques cubes
Merci pour avoir cherché une peu (c'était un grande première pour moi).
En effet, un seul cube suffisait. Il suffisait comme je l'ai vu si souvent écrit, d'exploiter le fait que 2010 était un multiple de 3 : [latex]2010=3\times670[/latex]
Notons [latex]\alpha=2009^{2008^{...^{2^1}}}[/latex]
On a [TeX]2011^{2010^{2009^{...^{2^1}}}} = 2011^^{2010^\alpha}[/TeX] [TeX]=2011^{(3\times670)^\alpha}[/TeX] [TeX]=2011^{3^\alpha\times670^\alpha}[/TeX] [TeX]=2011^{3^{\alpha-1}\times670^\alpha\times3}[/TeX] [TeX]=(2011^{3^{\alpha-1}\times670^\alpha})^3[/TeX]
#13 - 06-06-2011 17:03:17
- MthS-MlndN
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oSmme de quelques cubes
MthS-MlndN a écrit:[latex]2011^{2010^{...^{4^{3^{2^1}}}}} = \left( 2011^{2010^{...^{4^{3}}}} \right)^3[/latex]
Ca marche, non ? Et c'est sans doute plus simple a écrire...
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#14 - 06-06-2011 17:13:46
- irmo322
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Somme de quelques cubess
Mathias, en réalité: [TeX]\left( 2011^{2010^{{...}^{4^3}}} \right)^3= 2011^{3\cdot (2010^{{...}^{4^3}})}[/TeX]
#15 - 06-06-2011 17:21:33
- Yanyan
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Sommee de quelques cubes
Moi j'ai du mal avec ces empilements de puissances, en général on fait des puissances successivement, par exemple 2 puissance 3, le tout puissance 4, le tout puissance 5...
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#16 - 06-06-2011 17:26:50
- MthS-MlndN
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solme de quelques cubes
Bah j'ai du mal aussi, visiblement
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